Kalau yang jawab orang normal saya jawab 2 But kalau sebagai programmer saya jawab soal ini saya jawab pake bilangan biner 10 Oh iya mengapa 1 1 2 Penjelasan terlampir Ini akan sedikit menyentuh sisi fundamental matematika Sekarang kita bisa definisikan suatu fungsi Am sehingga m n Am n Fungsi ini memenuhi Am 0 m atau m 0 m dan Am n Am n atau m n m n Inilah definisi penjumlahan berdasarkan definisi bilangan asli yang dikonstruksi sebelumnya Oke sekarang kita siap untuk membuktikan bahwa 1 1 2 Perhatikan bahwa dari definisi penjumlahan di atas kita bisa melihat bahwa 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 Terbukti NB Beberapa pernyataan di atas seperti bahwa fungsi Am n memenuhi 2 sifat itu dalam teori himpunan sebenarnya butuh dibuktikan Namun demi kesederhanaan penjelasan saya anggap itu sudah terbukti Karena matematika adalah ilmu yang pure logic maka ia harus independen dari realita Lah terus matematika bisa dibangun dari apa Entitas paling fundamental dari matematika adalah himpunan Tapi himpunan sendiri harus terlepas dari realita artinya jika kita membicarakan himpunan kita tidak bisa lagi mengatakan bahwa A adalah himpunan bunga berwarna merah atau B adalah himpunan mahasiswa S1 ITB Lantas darimana anggota anggota himpunan itu bisa ada Maka karena itu lah sebelum memulai kita harus bayangkan pada awalnya tidak ada apapun di dunia ini dunia matematika tentunya bayangkan semesta abstrak yang kosong dan dengan itu kita hanya punya himpunan kosong satu satunya himpunan yang ada pertama kali yang keberadaannya kita jamin secara aksiomatik Himpunan kosong ini kita sebut ia sebagai 0 atau nol sebagai bilangan natural pertama kita Dalam fondasi matematika himpunan bilangan natural tidak harus dimulai dari 1 Dari nol ini kita bisa bangun bilangan natural secara rekursif melalui konsep penerus successor Dengan mengasumsikan pembaca sudah paham konsep gabungan union himpunan penerus dari suatu bilangan asli a didefinisikan sebagai at a U a Maka secara induktif kita bisa membangun satu per satu bilangan bilangan asli lain dari 0 yakni Well apa itu bilangan Secara pemaknaan sederhana ia berarti suatu konsep untuk membilang counting sesuatu Dalam makna yang lebih luas ia juga bisa berarti segala bentuk penanda dari suatu ukuran Pada makna yang pertama ia merujuk ke konsep bilangan paling sederhana yakni bilangan asli sedangkan pada makna kedua ia merujuk pada bilangan riil bisa juga lebih general ke bilangan kompleks namun di sini dulu cukup yang sebenarnya juga mencakup bilangan asli Bilangan riil bisa dibangun oleh bilangan rasional Bilangan rasional bisa dibangun oleh bilangan bulat Bilangan bulatm bisa dibangun oleh bilangan asli Bilangan asli Ia tidak dibangun oleh apa apa Bilangan asli merupakan konsep bilangan paling primitif yang ditemukan peradaban manusia karena ia murni hanya digunakan untuk membilang counting Namanya saja bilangan asli natural ia begitu natural sehingga ia menjadi objek paling mendasar dari matematika Tapi bagi para matematikawan fundamental ini masih sedikit bermasalah karena setiap objek dalam matematika harus bisa didefinisikan dengan baik Matematika dibangun melalui konstruksi logis setiap premis dan objeknya sehingga haruslah segala sesuatu termasuk bilangan asli bisa dikonstruksi dengan logika formal yang jelas Karena matematika adalah ilmu yang pure logic maka ia harus independen dari realita Lah terus matematika bisa dibangun dari apa Entitas paling fundamental dari matematika adalah himpunan Tapi himpunan sendiri harus terlepas dari realita 0 0 1 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 dan seterusnya Dengan cara ini seluruh bilangan asli pun terbangun dan terdefinisi dengan baik Kita lanjutkan ke pertanyaan kedua Apa itu sebenarnya penjumlahan Ketika di level fondasi matematika hanya punya himpunan maka dibangun konsep lain untuk merepresentasikan hubungan antar himpunan Konsep lain ini adalah fungsi Apa itu fungsi Untuk sekarang cukup kita pahami fungsi sebagai pemetaan dari setiap anggota suatu himpunan ke himpunan lain meski sebenarnya definisi fungsi harus bisa dibangun dengan baik dari himpunan tapi itu tidak penting untuk saat ini Sekarang kita bisa definisikan suatu fungsi Am sehingga m n Am n Fungsi ini memenuhi Am 0 m atau m 0 m dan An n Am n atau m nt m n Inilah definisi penjumlahan berdasarkan definisi bilangan asli yang dikonstruksi sebelumnya