- 4x, Tunjukkan bahwa fungsi x) x, Kontinyu di x = : 5. x < 5 x > 5

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi tangga $f(x)$ dengan definisi berikut.
$f(x)=\begin{cases}u(x), & x < a \\v(x), & x\geq a \end{cases}$
Apakah $f(x)$ kontinyu di $x=a$? Untuk mengetahuinya, kita perlu mengingat konsep kekontinyuan fungsi. Fungsi $f(x)$ akan kontinyu di $x=a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut.<ol>
<li>$f(a)$ ada (jelas bahwa $f(a)=v(a)$</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$f(x)=\begin{cases}x^{2}-4x, & x < 5\\x & x\geq5\end{cases}$
Akankah $f(x)$ kontinyu di $x=5$? Untuk membuktikannya, uji dengan ketiga syarat kekontinyuan.<ol>
<li>Apakah $f(5)$ ada?</li>
Berdasarkan definisi, $f(x)=x$ untuk $x\geq5$, maka $f(5)=5$. Jadi, $f(5)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to5}f(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to5^{-}}f(x)=\lim_{x\to5}(x^{2}-4x)=5^{2}-4(5)=5$
Limit kanan: $\lim_{x\to5^{+}}f(x)=\lim_{x\to5}(x)=5$
Limit kiri $=$ limit kanan $=$ 5, maka $\lim_{x\to5}f(x)$ ada, yaitu sama dengan $5$
<li>Apakah $\lim_{x\to5}f(x)=f(5)$</li>
Jelas bahwa $\lim_{x\to5}f(x)=5$ dan $f(5)=5$. Jadi, $\lim_{x\to5}f(x)=f(5)$</ol>
Dari ketiga syarat, dapat disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu di $x=5$.

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, terbukti bahwa $f(x)$ kontinyu di $x=5$.

Pembahasan