Pembahasan Transformasi Geometri
Konsep
Hai Pahamifren, kalian pasti sering bercermin kan? Saat bercermin kalian akan menggunakan cermin sebagai alatnya. Nah pada bidang geometri kita juga dapat mencerminkan undur unsur yang ada di dalamnya hanya saja cermin yang digunakan bukan cermin seperti yang kita gunakan melainkan dapat berupa titik maupun garis. Coba lihat soal yang kita punya! di soal tersebut kita akan mencari bayangan dari pencerminan/ refleksi dari kurva $y=x^2+2x-2$ oleh sumbu-x dan kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Perhatikan bahwa sumbu-x dan sumbu-y merupakan dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di $(0, 0)$. Sekarang coba perhatikan, kedua garis tersebut adalah saling tegak lurus. Artinya kita akan menggunakan konsep Refleksi Berurutan terhadap 2 garis tegak lurus
Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi
Diketahui:
Kurva $y=x^2+2x-2$ direfleksi terhadap sumbu-x dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap sumbu-y
Ditanya:
Bayangan dari kurva
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.
Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya $A'(x', y')$ sama dengan rotasi titik $A(x, y)$ dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar $180^\circ$.
Misalkan titik potong kedua garis adalah $(p, q)$ maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\$
Perhatikan
Garis $y=x^2+2x-2$ direfleksi terhadap sumbu-x dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap sumbu-y, sumbu-x dan sumbu-y merupakan dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di $(0, 0)$Komposisi pencerminan terhadap sumbu-x dan diteruskan dengan pencerminan terhadap sumbu-y dapat dituliskan sebagai rotasi dengan pusat $(0, 0$ dengan sudut $180^\circ$. Untuk mencari bayangan kurvanya kita terlebih dahulu harus mencari bayangan dari tiap titik yang terletak pada kurva tersebut sehingga kita dapat gunakan rumus yang kita miliki diatas.
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(0)\\ -y+2(0)\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right)$
Sehingga kita punya $x=-x'$ dan $y=-y'$. Nah sekarang kita substitusikan yuk persamaan ini ke kurva.
Jadi,
$-y'=(-x')^2+2(-x')-2$
$-y'=x'^2-2x'-2$ kita kalikan kedua sisinya dengan $-1$
$y'=-x'^2+2x'+2$
Bayangannya adalah $y=-x^2+2x+2$
Kurva $y=x^2+2x-2$ direfleksi terhadap sumbu-x dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap sumbu-y
Ditanya:
Bayangan dari kurva
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.
Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya $A'(x', y')$ sama dengan rotasi titik $A(x, y)$ dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar $180^\circ$.
Misalkan titik potong kedua garis adalah $(p, q)$ maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\$
Perhatikan
Garis $y=x^2+2x-2$ direfleksi terhadap sumbu-x dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap sumbu-y, sumbu-x dan sumbu-y merupakan dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di $(0, 0)$Komposisi pencerminan terhadap sumbu-x dan diteruskan dengan pencerminan terhadap sumbu-y dapat dituliskan sebagai rotasi dengan pusat $(0, 0$ dengan sudut $180^\circ$. Untuk mencari bayangan kurvanya kita terlebih dahulu harus mencari bayangan dari tiap titik yang terletak pada kurva tersebut sehingga kita dapat gunakan rumus yang kita miliki diatas.
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(0)\\ -y+2(0)\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right)$
Sehingga kita punya $x=-x'$ dan $y=-y'$. Nah sekarang kita substitusikan yuk persamaan ini ke kurva.
Jadi,
$-y'=(-x')^2+2(-x')-2$
$-y'=x'^2-2x'-2$ kita kalikan kedua sisinya dengan $-1$
$y'=-x'^2+2x'+2$
Bayangannya adalah $y=-x^2+2x+2$
Kesimpulan
Jadi, bayangan dari kurva KaTeX can only parse string typed expression yang direfleksikan terhadap sumbu -x dan diteruskan dengan refleksi terhadap sumbu-y adalah KaTeX can only parse string typed expression.
Pelajari Materi Terkait di Pahamify