Pembahasan Persamaan Lingkaran
Konsep
Hai Pahamifren, dari soal kali ini kita akan menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik pangkal, namun untuk dapat menentukan persamaannya kita harus mencari tahu dulu nih kedudukan titik terg=hadap lingkaran, apakah didalam, diluar atau pada lingkaran tersebut. Cara mengeceknya adalah dengan mensubstitusikan titik yang diberikan ke persamaan lingkaran. Koordinat titik pangkal adalah $(7, 1)$, kita substitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $7^2 + 1^2 =49+1=50>25$ karena hasilnya $>0$ maka titik pangkal tersebut terletak di luar lingkaran. Berdasarkan hal ini maka konsep yang kita gunakan adalah Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi
Diketahui:
Lingkaran $L: x^2 + y^2 = 25$ dan titik (7,1)
Ditanya:
Persamaan garis singgung lingkaran
Jawab:
Kedudukan titik $(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2=r^2$
$\rightarrow$titik terletak di dalam lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2<{r^2}$
$\rightarrow$titik terletak pada lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2=r^2$
$\rightarrow$titik terletak di luar lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2>r^2$
Dua cara untuk menentukan PGSL yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ yaitu:
A) Dengan menggunakan persamaan garis $y=mx+c$ yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ .
Langkah -langkah:
1) Misalkan garis singgungnya adalah $y=mx+c$.
2) Substitusi $A(x_1,y_1)$ ke persamaan garis $y=mx+c$, kemudian ubah persamaan yang telah diperoleh ke bentuk $c=y_1-mx_1$.
3) Substitusikan $c=y_1-mx_1$ ke persamaan $y=mx+c$.
4) Substitusikan persamaan garis baru yang diperoleh di langkah 3 ke persamaan lingkaran.
5) Tentukan nilai $m$ dengan menggunakan nilai diskriminan, $D=0$.
6) Setelah diperoleh nilai $m$, substitusikan nilai $m$ yang diperoleh ke persamaan garis di langkah 3. Garis ini adalah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ yang terletak di luar lingkaran.
B) Dengan menggunakan persamaan garis polar/ garis kutub
Jika dari titik $A(x_1,y_1)$ di luar lingkaran dibuat garis singgung lingkaran, maka garis-garis tersebut akan menyinggung lingkaran di dua titik yaitu $B(x_2,y_2)$ dan $C(x_3,y_3)$. Persamaan garis yang melalui titik $BC$ adalah $x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}=r^2$ atau $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ atau $x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0$ bergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diberikan. Persamaan garis yang melaui titik $BC$ tersebut adalah garis polar/ garis kutub).
Langkah-langkah:
1) Tentukan persamaan garis kutub yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran.
2) Substitusi persamaan garis kutub yang diperoleh ke persamaan lingkaran. Kemudian akan diperoleh suatu persamaan kuadrat. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk memperoleh akar-akarnya.
3) Substitusikan nilai $x$ atau $y$ yang diberikan ke persamaan garis kutup sehingga diperoleh titik $B$ dan $C$.
Perhatikan
Cek kedudukan titik $(7, 1)$ terhadap $x^2+y^2=25$
$7^2+1^2...25$
$49+1...25$
$50\geq25$
Titik $(7, 1)$ terletak diluar lingkaran.
Untuk menentukan persamaan garis singgungnya kita akan menggunakan metode garis polar.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$
1 ) Buat persamaan garis kutub dengan menggunakan titik $(7,1)$
$\rightarrow{7x+1y=25}$
$7x+y=25$
$y=25-7x$
2) Substitusi $y=25-7x$ ke lingkaran
$\rightarrow{x^2+(25-7x)^2=25}$
$x^2+49x^2-350x+625-25=0$
$50x^2-350x+600=0$
$5x^2-35x+60=0$
$x^2-7x+12=0$
$(x-4)(x-3)=0$
$x=4$ atau $x=3$
Nilai $y$
Untuk $x=4$
$y=25-7(4)$
$y=25-28$
$y=-3$
Titiknya adalah $(4, -3)$
Untuk $x=3$
$y=25-7(3)$
$y=25-21$
$y=4$
Titiknya adalah $(3, 4)$
Persamaan garis singgung lingkaran di $(4, -3)$
$4x+(-3)y=25$
$4x-3y=25$
Persamaan garis singgung lingkaran di $(3, 4)$
$3x+4y=25$
Lingkaran $L: x^2 + y^2 = 25$ dan titik (7,1)
Ditanya:
Persamaan garis singgung lingkaran
Jawab:
Kedudukan titik $(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2=r^2$
$\rightarrow$titik terletak di dalam lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2<{r^2}$
$\rightarrow$titik terletak pada lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2=r^2$
$\rightarrow$titik terletak di luar lingkaran jika
$x_1^2+y_1^2>r^2$
Dua cara untuk menentukan PGSL yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ yaitu:
A) Dengan menggunakan persamaan garis $y=mx+c$ yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ .
Langkah -langkah:
1) Misalkan garis singgungnya adalah $y=mx+c$.
2) Substitusi $A(x_1,y_1)$ ke persamaan garis $y=mx+c$, kemudian ubah persamaan yang telah diperoleh ke bentuk $c=y_1-mx_1$.
3) Substitusikan $c=y_1-mx_1$ ke persamaan $y=mx+c$.
4) Substitusikan persamaan garis baru yang diperoleh di langkah 3 ke persamaan lingkaran.
5) Tentukan nilai $m$ dengan menggunakan nilai diskriminan, $D=0$.
6) Setelah diperoleh nilai $m$, substitusikan nilai $m$ yang diperoleh ke persamaan garis di langkah 3. Garis ini adalah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ yang terletak di luar lingkaran.
B) Dengan menggunakan persamaan garis polar/ garis kutub
Jika dari titik $A(x_1,y_1)$ di luar lingkaran dibuat garis singgung lingkaran, maka garis-garis tersebut akan menyinggung lingkaran di dua titik yaitu $B(x_2,y_2)$ dan $C(x_3,y_3)$. Persamaan garis yang melalui titik $BC$ adalah $x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}=r^2$ atau $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ atau $x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0$ bergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diberikan. Persamaan garis yang melaui titik $BC$ tersebut adalah garis polar/ garis kutub).
Langkah-langkah:
1) Tentukan persamaan garis kutub yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran.
2) Substitusi persamaan garis kutub yang diperoleh ke persamaan lingkaran. Kemudian akan diperoleh suatu persamaan kuadrat. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk memperoleh akar-akarnya.
3) Substitusikan nilai $x$ atau $y$ yang diberikan ke persamaan garis kutup sehingga diperoleh titik $B$ dan $C$.
Perhatikan
Cek kedudukan titik $(7, 1)$ terhadap $x^2+y^2=25$
$7^2+1^2...25$
$49+1...25$
$50\geq25$
Titik $(7, 1)$ terletak diluar lingkaran.
Untuk menentukan persamaan garis singgungnya kita akan menggunakan metode garis polar.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$
1 ) Buat persamaan garis kutub dengan menggunakan titik $(7,1)$
$\rightarrow{7x+1y=25}$
$7x+y=25$
$y=25-7x$
2) Substitusi $y=25-7x$ ke lingkaran
$\rightarrow{x^2+(25-7x)^2=25}$
$x^2+49x^2-350x+625-25=0$
$50x^2-350x+600=0$
$5x^2-35x+60=0$
$x^2-7x+12=0$
$(x-4)(x-3)=0$
$x=4$ atau $x=3$
Nilai $y$
Untuk $x=4$
$y=25-7(4)$
$y=25-28$
$y=-3$
Titiknya adalah $(4, -3)$
Untuk $x=3$
$y=25-7(3)$
$y=25-21$
$y=4$
Titiknya adalah $(3, 4)$
Persamaan garis singgung lingkaran di $(4, -3)$
$4x+(-3)y=25$
$4x-3y=25$
Persamaan garis singgung lingkaran di $(3, 4)$
$3x+4y=25$
Kesimpulan
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah KaTeX can only parse string typed expression. (C)
Pelajari Materi Terkait di Pahamify