Aturan Pencacahan

STEP 1 Identifikasi Konsep

Dalam penyusunan suatu objek tertentu, kita kenal istilah permutasi dan kombinasi. Singkatnya, permutasi adalah cara menyusun suatu objek dengan memperhatikan urutannya. Sebaliknya, kombinasi adalah cara menyusun suatu objek tanpa memperhatikan urutannya. Dalam soal kita diminta untuk menentukan banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk oleh kata berikut ini:

a. MATEMATIKA
b. MISSISSIPI
c. STATISTIKA

Apabila huruf pada kata diatas saling ditukar letaknya, maka akan terbentuk beberapa susunan huruf . Karena susunan huruf ini memperhatikan urutan serta pada kata-kata diatas terdapat beberapa huruf yang sama, sehingga untuk menentukan banyaknya susunan kita akan gunakan konsep permutasi dengan sebagian unsur yang sama.

STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Permutasi adalah suatu susunan berbeda yang dapat dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutannya.

Banyaknya permutasi dari

k

unsur yang diambil dari

n

unsur yang tersedia didefinisikan sebagai berikut:

P_{k}^{n} = \frac{n !}{( n - k )!}

dengan

n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) ...3 \times 2 \times 1

Namun adakalanya diantara sekumpulan unsur yang tersedia, terdapat unsur yang sejenis. Jika semua unsur tersebut disusun maka akan terbentuk beberapa susunan yang sama. Banyaknya susunan berbeda atau permutasi dari $n$ unsur dimana terdapat $n_{1}$ unsur sejenis ke-1, $n_{2}$ unsur sejenis ke-2 hingga $n_{k}$ unsur sejenis ke-k, dirumuskan dengan:

P_{n_{1}, n_{2, ...} n_{k}}^{n} = \frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! ... n _{k} !}

Dengan menggunakan cara diatas, kita akan tentukan banyaknya susunan berbeda dari kata MATEMATIKA, MISSISSIPI, dan STATISTIKA apabila letak huruf pada kata tersebut ditukar.

a. MATEMATIKA
Sebelum menentukan banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk oleh kata MATEMATIKA, terlebih dahulu kita tentukan banyaknya unsur yang sejenis dalam kata tersebut.

Banyak huruf tersedia dalam kata MATEMATIKA=

10

huruf

Huruf yang sama=

huruf M ada $2$ (jenis pertama),
huruf T ada $2$ (jenis kedua) dan
huruf A ada $3$ (jenis ketiga)

Sehingga banyaknya susunan berbeda adalah:

P_{2, 2, 3}^{10} = \frac{10 !}{2 ! 2 ! 3 !}

P_{2, 2, 3}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 3 !}

P_{2, 2, 3}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 1 \times 2 \times 1}

P_{2, 2, 3}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}

P_{2, 2, 3}^{10} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5

P_{2, 2, 3}^{10} = 151.200

Kita peroleh banyaknya susunan berbeda dari kata MATEMATIKA adalah

151.200

b. MISSISSIPI
Sebelum menentukan banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk oleh kata MISSISSIPI, terlebih dahulu kita tentukan banyaknya unsur yang sejenis dalam kata tersebut.

Banyak huruf tersedia dalam kata MISSISSIPI=

10

huruf

Huruf yang sama=

huruf I ada $4$ (jenis pertama) dan
huruf S ada $4$ (jenis kedua)

Sehingga banyaknya susunan berbeda adalah:

P_{4, 4}^{10} = \frac{10 !}{4 ! 4 !}

P_{4, 4}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 !}

P_{4, 4}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}

P_{4, 4}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 6}

P_{4, 4}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 5}{4}

P_{4, 4}^{10} = 10 \times 9 \times 7 \times 5 \times 2

P_{4, 4}^{10} = 6.300

Kita peroleh banyaknya susunan berbeda dari kata MISSISSIPI adalah

6.300

c. STATISTIKA
Sebelum menentukan banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk oleh kata STATISTIKA, terlebih dahulu kita tentukan banyaknya unsur yang sejenis dalam kata tersebut.

Banyak huruf tersedia dalam kata STATISTIKA=

10

huruf

Huruf yang sama=

huruf S ada $2$ (jenis pertama),
huruf A ada $2$ (jenis kedua),
huruf I ada $2$ (jenis ketiga) dan
huruf T ada $3$ (jenis keempat).

Sehingga banyaknya susunan berbeda adalah:

P_{2, 2, 2, 3}^{10} = \frac{10 !}{2 ! 2 ! 2 ! 3 !}

P_{2, 2, 2, 3}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 3 !}

P_{2, 2, 2, 3}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{8}

P_{2, 2, 2, 3}^{10} = 10 \times 9 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4

P_{2, 2, 2, 3}^{10} = 75.600

Kita peroleh banyaknya susunan berbeda dari kata STATISTIKA adalah

75.600

STEP 3 Kesimpulan

Jadi kita peroleh susunan berbeda yang dapat dibuat jika letak huruf dalam kata berikut ditukar adalah

a. MATEMATIKA =

151.200

susunan

b. MISSISSIPI =

6.300

susunan

c. STATISTIKA =

75.600

susunan

Pembahasan Aturan Pencacahan

STEP 1 Identifikasi Konsep

STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

STEP 3 Kesimpulan