1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini! h. 5x – 11 = 12 + 3x| 1 i. |6n + 1] 2 j. a- WIN a – 91 =18 

Hai Pahamifren, kalian pasti sudah sering dong menyelesaikan suatu persamaan linear satu variabel. Nah, kali ini kita bakalan mencoba sesuatu yang berbeda yaitu menentukan penyelesaian untuk suatu persamaan nilai mutlak. Dan untuk menyelesaikannya kita akan menggunakan konsep Persamaan Nilai Mutlak dan Himpunan Penyelesaiannya

Konsep 

Diketahui:
a) \(\mid{5x-1}\mid=\mid{2+3x}\mid\)
b) \(\mid{6n+1}\mid=\frac{1}{2}\)
c) \(\mid{\frac{2}{3}a-9}\mid=18\)
Ditanya: 
Himpunan penyelesaian dari himpunan tersebut.
Jawab
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan \(x\) dinyatakan dalan \(\mid{x}\mid\), dengan definisi 
\(\mid{x}\mid=\begin{cases}x & x \geq 0\\-x & x < 0\end{cases}\)
Persamaan Nilai Mutlak
1) \(\mid{f(x)}\mid=a\), dimana \(a>0\)
2) \(\mid{f(x)}\mid=\mid{g(x)}\mid\)
Suatu persamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan dengan menggunakan definisi atau dapat juga kita kuadratkan kedua sisinya.

Perhatikan
a) \(\mid{5x-1}\mid=\mid{2+3x}\mid\)
untuk persamaan tersebut kita akan selesaikan dengan menguadratkan kedua sisinya
\(\mid{5x-1}\mid^2=\mid{2+3x}\mid^2\)
\((5x-1)^2=(2+3x)^2\)
\(25x^2-10x+1=9x^2+12x+4\)
\(25x^2-9x^2-10x-12x+1-4=0\)
\(16x^2-22x-3=0\)
\((8x+1)(2x-3)=0\)
\(x=-\frac{1}{8}\vee{x=\frac{3}{2}}\)

b) \(\mid{6n+1}\mid=\frac{1}{2}\)
Kita akan menentukan himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak, yaitu
\(\mid{6n+1}\mid=\begin{cases}6n+1 & {n\geq-\frac{1}{6}}\\-(6n+1) &{n<-\frac{1}{6}}\end{cases}\)
Sehingga untuk persamaan mutlak \(\mid{6n+1}\mid=\frac{1}{2}\) diperoleh 
\(6n+1=\frac{1}{2}\) atau \(-(6n+1)=\frac{1}{2}\) 

Nilai dari \(n\)
\(\rightarrow{6n+1}=\frac{1}{2}\)
\(6n=\frac{1}{2}-1\)
\(6n=-\frac{1}{2}\)
\(n=-\frac{1}{2\cdot6}\)
\(n=-\frac{1}{12}\) memenuhi \(n\geq-\frac{1}{6}\)

\(\rightarrow-(6n+1)=\frac{1}{2}\) 
\(-6n-1=\frac{1}{2}\) 
\(-6n=\frac{1}{2}+1\) 
\(-6n=\frac{3}{2}\) 
\(n=\frac{3}{2\cdot(-6)}\) 
\(n=\frac{3}{-12}\)
\(n=-\frac{3}{12}\) memenuhi \(n<-\frac{1}{6}\)

c) \(\mid{\frac{2}{3}a-9}\mid=18\)
Kita akan menentukan himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak, yaitu
\(\mid{\frac{2}{3}a-9}\mid=\begin{cases}\frac{2}{3}a-9 & {a\geq\frac{27}{2}}\\-(\frac{2}{3}a-9) & {a<\frac{27}{2}}\end{cases}\)
Sehingga untuk persamaan mutlak \(\mid{\frac{2}{3}a-9}\mid=18\) diperoleh 
\(\frac{2}{3}a-9=18\) atau \(-(\frac{2}{3}a-9)=18\)

Nilai \(a\)
\(\rightarrow\frac{2}{3}a-9=18\) 
\(\frac{2}{3}a=18+9\) 
\(\frac{2}{3}a=27\) 
\(a=27\times\frac{3}{2}\) 
\(a=\frac{81}{2}\) memenuhi \(a\geq\frac{27}{2}\)

\(\rightarrow-(\frac{2}{3}a-9)=18\) 
\(-\frac{2}{3}a+9=18\) 
\(-\frac{2}{3}a=18-9\) 
\(-\frac{2}{3}a=9\) 
\(a=27\times(-\frac{3}{2})\) 
\(a=-\frac{81}{2}\) memenuhi \(a<\frac{27}{2}\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
a) \(x=-\frac{1}{8}\vee{x=\frac{3}{2}}\)
b) \(n=-\frac{1}{12}\) atau \(n=-\frac{3}{12}\) 
c) \(a=\frac{81}{2}\) atau \(a=-\frac{81}{2}\)