10.Diketahui garis g: 4x + 3y + 12 = 0 ditranslasikan -2 oleh T1 (3) р menghasilkan bayangan garis g": 4x + 3y + 14 = 0. Tentukan hasil dari p2 + q2 ! 

Pada soal kali ini kita diminta untuk menyelesaikan hasil pengoperasian translasi. Apa sih Transalasi itu? Mungkin sebagian orang masih asing dengan istilah ini. Translasi merupakan salah satu jenis dari transformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar, dan bentuknya sendiri. Terdapat 4 macam transformasi geometri, yaitu: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian). 

Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Artinya, translasi merupakan pergeseran atau perpindahan titik.
Berikut ilustrasi dari perpindahan transalasi:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-28/LessonId-460/ModuleId-2/QuestionCode-21HXPPDQILL/TRANSLASI.PNG" />

Adapun rumus translasi bisa disajikan dalam bentuk:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-28/LessonId-460/ModuleId-2/QuestionCode-21HXPPDQILL/TRANSLASI 2.PNG" />

Bentuk dari komposisi translasi terjadi jika translasi terjadi lebih dari satu kali. 
Misalkan titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $T_1= \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ menghasilkan titik $A'(x',y')$, kemudian bayangan tersebut dilanjutkan oleh translasi $T_2=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ menghasilkan titik $A''(x",y")$. Bentuk komposisi translasi tersebut membentuk persamaan sebagai berikut:
$\left(\begin{array}{c}x"\\ y"\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$
atau artinya:
$ x" = x + a +c $
$ y"=y+ b + d $

Pada kasus soal ini diketahui sebuah garis yang ditranslasikan sebanyak dua kali. Kita diminta untuk menentukan nilai translasi sehingga bayangan garis tersebut didapatkan. Sehingga untuk pada penyelesaian soal ini kita akan gunakan Bab Transformasi Geometri dengan konsep Komposisi Translasi.

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui bahwa garis awal: 
$g:4x+3y+12=0$
ditranslasi oleh $T_1=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ p\end{array}\right)$ 
dilanjutkan translasi oleh 
$T_2=\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}q\\3\end{array}\right)$. 
menghasilkan bayangan garis 
$g”:4x+3y+14=0$

Kita diminta untuk mencari nilai $p^2+q^2$.

Berdasarkan rumus yang sudah disajikan dalam identifikasi konsep, dapat kita tuliskan bahwa :
$ x" = x + a +c $
$ y"=y+ b + d $
Kita substitusikan nilai translasi yang sudah diketahui
$ x" = x + (-2) +q$ 
$ y"=y+ p + 3 $ 

Garis awal bisa dicari dengan mensubstitusikan nilai $x”$ dan $y”$ tersebut kedalam persamaan garis bayangan seperti langkah berikut:
$g”:4x+3y+14=0$
Atau bisa ditulis
$g”:4x”+3y”+14=0$
Menghasilkan garis awal sebagai berikut:
$g: 4(x + (-2) +q) + 3(y+ p + 3)+14=0$
$g: 4x-8+4q+3y+3p+9+14=0$
$g: 4x+3y+3p+4q+15=0$

Padahal sudah diketahui bahwa garis awal adalah 
$g:4x+3y+12=0$

Berdasarkan kedua hal tersebut, dapat kita tarik kesimpulan bahwa:
$3p+4q+15=12$
$3p+4q=-3$
$ 4q = -3 - 3p $
$ q = -\frac{3+3p}{4}$

Nilai dari $p^2+q^2$ senilai dengan:
$p^2+q^2 = p^2 + (-\frac{3+3p}{4})^2$
$p^2+q^2 = \frac{16p^2}{16} + \frac{9p^2+18p+9}{16} $
$p^2+q^2 = \frac{25p^2+18p+9}{16} $


Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, $p^2+q^2$ senilai dengan $\frac{25p^2+18p+9}{16} $

Pembahasan