10. Waktu paruh radioaktif isotop 198Au adalah 2,7 hari. Jika terdapat 100 miligram isotop, berapa miligram isotop yang tersisa setelah 24 jam peluruhan? Berapa sisa isotop yang ada setelah satu minggu? 

Hai Pahamifren, kalian pasti tahu dong bahwa kandungan pada suatu unsur kimia bisa berkurang atau mengalami peluruhan, nah besarnya peluruhan dan sisa dari unsur kimia tersebut dapat dihitung dengan cara matematika. Sehingga untuk soal dimana diketahui waktu paruh radioaktif isotop \(^{198}Au\) adalah 2,7 hari. Kemudian, jika terdapat 100 miligram isotop, kita diminta untuk menghitung berapa miligram isotop yang tersisa setelah 24 jam peluruhan dan juga berapa sisa isotop yang ada setelah satu minggu. Perhatikan bahwa kasus yang kita punya adalah masalah waktu paruh, suatu peluruhan merupakan aplikasi dari barisan dan deret geometri. Berdasarkan analisis ini maka konsep yang kita gunakan adalah Aplikasi Barisan dan Deret Geometri.

Konsep 

Diketahui:
Waktu paruh radioaktif isotop \(^{198}Au\) adalah 2,7 hari.
Ditanya:
Jika terdapat 100 miligram isotop, berapa miligram isotop yang tersisa setelah 24 jam peluruhan dan juga berapa sisa isotop yang ada setelah satu minggu
Jawab:
Rumus waktu paruh radioaktif
\(N_t={N_0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n\), dengan \(n=\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}\)
keterangan 
\(N_0\) adalah jumlah zat sebelum mengalami peluruhan 
\(N_t\) adalah jumlah zat setelah mengalami peluruhan 
\(t\) adalah waktu sejak pertama kali benda mulai meluruh
\(t_{\frac{1}{2}}\) adalah waktu paruh dari unsur tersebut

Perhatikan
Waktu paruh radioaktif isotop \(^{198}Au\) adalah 2,7 hari, artinya \(t_{\frac{1}{2}}=2,7\).
Terdapat 100 miligram isotop, maka \(N_0=100\) mg.

Sekarang kita akan menghitung berapa miligram isotop yang tersisa setelah 24 jam. 24 jam artinya 1 hari, maka \(t=1\).
\(n=\frac{1}{2,7}\)
\(N_t={100}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{2,7}\)
\(N_t={100}\cdot(0,77358)\)
\(N_t=77,36\)
Jadi, isotop yang tersisa setelah 24 jam adalah \(77, 36\) miligram.

Sisa isotop yang ada setelah satu minggu, atau 7 hari \(t=7\).
\(n=\frac{7}{2,7}\)
\(N_t={100}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{7}{2,7}\)
\(N_t={100}\cdot(0,165787)\)
\(N_t=16,5787\)
\(N_t=16,58\)
Jadi, sisa isotop setelah satu minggu adalah \(16,58\) miligram.

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, isotop yang tersisa setelah 24 jam adalah \(77, 36\) miligram dan sisa isotop setelah satu minggu adalah \(16,58\) miligram.