11. Nilai a dan b yang memenuhi persamaan limit x2 +ax+8 lim adalah ... x2 x2 +(b-2)x-2b 1 6 

Salah satu aplikasi turunan fungsi adalah teorema L'Hospital. Misalkan terdapat limit sebagai berikut.
$$\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$$
Jika $\dfrac{f(a)}{g(a)}$ menghasilkan bentuk tak tentu, maka diperlukan cara lain untuk menentukan nilai limitnya. Selain dengan menghilangkan pembuat tak tentu, bisa digunakan teorema L'Hospital jika $f'(x)$ dan $g'(x)$ ada.
$$\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$
Asalkan nilai limitnya ada (tidak menghasilkan bentuk tak tentu).

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan limit
$$\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}+ax+8}{x^{2}+(b-2)x-2b}=\dfrac{1}{6}$$
Akan dicari nilai $a$ dan $b$. Perhatikan bahwa 
$$f(x)=x^{2}+ax+8$$
$$g(x)=x^{2}+(b-2)x-2b$$
Karena $g(2)=(2)^{2}+(b-2)(2)-2b=4+2b-4-2b=0$, supaya nilai limitnya ada, yaitu sama dengan $\dfrac{1}{6}$, maka $f(2)$ juga harus sama dengan $0$, karena baik $f(x)$ dan $g(x)$ memuat pembuat nol untuk $x=2$.
$$\begin{aligned}f(2) & =(2)^{2}+a(2)+8\\0 & =4+2a+8\\0 & =12+2a\\-2a & =12\\a & =-6\end{aligned}$$
Selanjutnya, cari nilai limit dengan menggunakan teorema L'Hospital.
$$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f(x)}{g(x)} & =\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\\ & =\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{2x+a}{2x+b-2}\\ & =\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{2x-6}{2x+b-2}\\ & =\dfrac{2(2)-6}{2(2)+b-2}\\ & =\dfrac{-2}{b}\end{aligned}$$
Karena diketahui nilai limitnya adalah $\dfrac{1}{6}$, maka
$$\begin{aligned}\dfrac{1}{6} & =\dfrac{-2}{b}\\1(b) & =6(-2)\\b & =-12\end{aligned}$$
Diperoleh $a=-6$ dan $b=-12$. Jadi, nilai dari $ab$ adalah
$$\begin{aligned}ab & =-6(-12)\\ & =72\end{aligned}$$

Pembahasan