12. Sebuah kurva memiliki memiliki gradien persamaan garis garis singgung dy = dx 4 cos 4x, dan titik singgung kurva 6.2), tentukan persamaan kurva tersebut! 

Pada soal kita diminta untuk mencari persamaan suatu kurva yang melalui titik \((\frac{\pi}{4}, 2)\) dan memiliki gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\cos4x\). Pahamifren ingat ya bahwa gradien merupakan turunan dari persamaan kurva, maka untuk mencari persamaan kurva dari persamaan gradiennya maka kita akan menggunakan anti turunan/ integral. berdasarkan analisis tersebut maka kita akan menggunakan Konsep Dasar Integral Tentu.

Konsep

Diketahui:
Kurva yang melalui titik \((\frac{\pi}{4}, 2)\) dan memiliki gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\cos4x\)
Ditanya:
Persamaan kurva tersebut
Jawab:
Rumus Integral Tak Tentu pada trigonometri
\(\int_{}^{} {\cos{(ax)}}dx=\frac{1}{a}\sin{ax}+c\), 
dengan \(c\) adalah konstanta. 

Rumus Integral Tentu
Misalkan integral dari \(f(x)\) adalah \(F(x)\) maka 
\(\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)\)

Persamaan kurva yang diketahui gradiennya
Persamaan suatu kurva yang melalui titik \(x_1, y_1\) dan memiliki persamaan gradien \(\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=f'(x)\) adalah 
\(\int_{}^{} {f'(x)}dx=F(x)+c\) 
Nilai \(c\) dapat dicari dengan menggunakan titik yang melalui kurva. 

Perhatikan
Gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\cos4x\)
Kurva melalui titik \((\frac{\pi}{4}, 2)\)
Artinya \(f'(x)=4\cos4x\)
Persamaan kurva dengan gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\cos4x\) adalah 
\(y=\int{f'(x)}\\y=\int4\cos4xdx\\y=\frac{4}{4}sin4x+c\\y=sin4x+c\)
Persamaan kurva yang melalui titik \((\frac{\pi}{4}, 2)\).
Substitusikan titik tersebut ke persamaan \(y=sin4x+c\) untuk memperoleh nilai \(c\).
\(2=sin4(\frac{\pi}{4})+c\)
\(2=sin{\pi}+c\)
\(2=0+c\)
\(2=c\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan kurva yang bergradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4\cos4x\) yang melalui titik \((\frac{\pi}{4}, 2)\) adalah \(y=sin4x+2\).