12.Titik (p, q) direfleksikan terhadap garis y = x +3 dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = -x + 5 sehingga hasil tranformasinya adalah (-4, 7). Nilai dari p + q adalah... A. -7 D. 3 B. -3 E. 7 C.0 

Kamu pasti pernah bercermin kan? Ketika kamu bercermin pada cermin datar, maka bayanganmu akan muncul. Bayangan tersebut sama persis dengan dirimu. Jarak kamu ke cermin juga akan sama dengan jarak bayangan ke cermin. Itulah sifat dari pencerminan suatu objek. Pencerminan atau disebut juga refleksi dapat dilakukan pada titik, garis, kurva, bangun datar dan sebagainya. Objek tersebut dapat dicerminkan lebih dari sekali, dikenal dengan nama komposisi refleksi. Bila pencerminan dilakukan dua kali dimana kedua garis atau sumbunya saling tegak lurus, maka akan terbentuk suatu sifat khusus yang akan kita bahas di soal ini. Dengan demikian kita perlu memahami konsep Transformasi Geometri yaitu Refleksi Berurutan terhadap Dua Garis Tegak Lurus.

Step 1: Identifikasi Konsep

Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan semua titik pada bangun ke arah garis atau cermin sejauh dua kali jarak bangun terhadap garis atau cermin. Secara sederhana adalah seperti pencerminan pada cermin datar. Refleksi ini bisa dilakukan secara berurutan.

Refleksi yang dilakukan secara berurutan terhadap dua garis yang tegak lurus dapat dirumuskan sebagai rotasi pada titik potong kedua garis sejauh \(180^o\). Misalkan titik \(A(x, y)\) direfleksi terhadap dua garis tegak lurus yang berpotongan di titik \(P(a, b)\) sehingga bayangannya adalah \(A’(x’, y’)\). Hubungan kedua titik tersebut dapat dinyatakan sebagai
\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2a-x\\2b-y\end{pmatrix}\)
Atau bisa dituliskan masing-masing
 \(\begin{aligned} x’&=2a-x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ...(1)\\ y’&=2b-y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &...(2) \end{aligned}\)
Kita juga perlu mengingat bentuk umum persamaan garis
\(y=mx+c\)
Dimana \(x, y\) adalah titik yang dilalui garis, \(m\) adalah kemiringan garis (gradien), dan \(k\) adalah konstanta. Melalui gradien suatu garis kita dapat menentukan kedudukan dua buah garis.
Misalkan terdapat dua buah persamaan garis \(y=m_1 x+c_1\) dan \(y=m_2 x+c_2\)
<ul><li>	Kedua garis tersebut dikatakan saling sejajar apabila gradiennya sama
\(m_1=m_2\)</li><li>	Kedua garis tersebut dikatakan saling tegak lurus apabila gradiennya
\(m_1.m_2=-1\)</li></ul>
 Itu dia beberapa konsep yang akan kita gunakan nanti. Sekarang kita kembali ke soal. Titik \((p, q)\) (kita tulis \(x=p\) dan \(y=q\)) akan direfleksikan oleh garis \(y=x+3\) (gradiennya \(m_1=1\)) dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y=-x+5\) (gradiennya \(m_2=-1\)) akan menghasilkan bayangan di \((-4, 7)\) (kita tulis \(x’=-4\) dan \(y’=7\)). Kalau kita perhatikan, kedua garis ini saling tegak lurus lho fren! Tau nggak kenapa? Karena hasil kali kedua gradien garis tersebut adalah \(-1\). Kemudian kita perlu mencari titik potong antara kedua garis tersebut dengan metode eliminasi-subtitusi.

\(y=\ \ \ x+3\\ \underline{y=-x+5\ \ \ \ \ -}\\ 0=2x-2\\ -2x=-2\\ x=\frac{-2}{-2}=1\)

Nilai \(x=1\) kita subtitusi ke garis pertama

\(\begin{aligned} y&=x+3\\ y&=1+3\\ y&=4\end{aligned}\)

Maka kita tahu bahwa kedua garis ini berpotongan di titik \(P(1, 4)\) (kita tulis \(a=1\) dan \(b=4\)). Kemudian kita dapat menggunakan rumus (1) dan (2) untuk mencari variabel \(p\) dan \(q\). Kita hitung bareng-bareng ya
\(\begin{aligned} x’&=2a-x\\ -4&=2(1)-p\\ p&=2+4=6\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} y’&=2b-y\\ 7&=2(4)-q\\ q&=8-7=1\end{aligned}\)
Setelah dapat variabel \(p\) dan \(q\) sekarang kita hitung
\(\begin{aligned} p+q&=6+1\\ &=7\end{aligned}\)

Step 2: Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai dari \(p+q\) adalah \(7\). (E)

Step 3: Kesimpulan

komposisi transformasi, persamaan garis, sistem penyelesaian linear dua variabel.

Pembahasan