13.Garis y = -3x + 1 dicerminkan terhadap garis y = x + 2 kemudian dicerminkan terhadap garis y = -x – 4. Tentukan persamaan bayangannya! 

Hai Pahamifren, kalian pasti sering bercermin kan? Saat bercermin kalian akan menggunakan cermin sebagai alatnya. Nah pada bidang geometri kita juga dapat mencerminkan undur unsur yang ada di dalamnya hanya saja cermin yang digunakan bukan cermin seperti yang kita gunakan melainkan dapat berupa titik maupun garis. Coba lihat soal yang kita punya! di soal tersebut kita akan mencari hasil dari pencerminan/ refleksi dari garis \(y=-3x+1\) oleh dua garis yaitu yang pertama refleksi terhadap garis \(y=x+2\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(y=-x-4\). Sekarang coba perhatikan, kedua garis tersebut adalah saling tegak lurus. Artinya kita akan menggunakan konsep Refleksi Berurutan terhadap 2 garis tegak lurus

Konsep

Diketahui:
Garis \(y=-3x+1\) direfleksikan terhadap garis \(y=x+2\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(y=-x-4\)
Ditanya:
Persamaan bayangan dari garis tersebut
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.

Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya \(A'(x', y')\) sama dengan rotasi titik \(A(x, y)\) dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar \(180^\circ\). 
Misalkan titik potong kedua garis adalah \((p, q)\) maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\\)

Perhatikan
Garis \(y=x+2\) dan garis \(y=-x-4\) adalah dua garis yang saling sejajar, sehingga komposisi dari penceriman oleh dua garis berturut-turut adalah rotasi dengan pusat titik potong dari dua garis dengan sudut \(180^\circ\).
Pertama tama kita akan tentukan titik potong dari dua garis tersebut
\(y=y\)
\(x+2=-x-4\)
\(x+x=-4-2\)
\(2x=-6\)
\(x=-3\)
Koordinat \(y\) kita dapatkan dari substitusi \(x=-3\)
\(y=-3+2\)
\(y=-1\)
Jadi, titik potongnya adalah \((-3, -1)\)

Artinya kita akan mencari hasil dari rotasi garis \(y=-3x+1\) terhadap pusat \((-3, -1)\) serta sudut \(180^\circ\). Kita akan mencari terlebih dahulu bayangan dari semua titik yang terletak pada garis
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(-3)\\ -y+2(-1)\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x-6\\ -y-2\end{array}\right)\)
Jadi kita punya dua persamaan yaitu
\(x'=-x-6\rightarrow{x=-x'-6}\)
\(y'=-y-2\rightarrow{y=-y'-2}\)
Sekarang untuk memperoleh bayangannya kita substitusikan persamaan \(x\) dan \(y\) yang kita punya ke persamaan garisnya
 \(y=-3x+1\)
 \(-y'-2=-3(-x'-6)+1\)
\(-y'=-3x'+18+1+2\)
\(-y'=-3x'+21\)
\(y'=3x'-21\)
Dengan menghilangkan tanda ( ' )maka kita peroleh persamaan bayangannya adalah \(y=3x-21\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan bayangan dari garis tersebut adalah \(y=3x-21\).