13. Perhatikan gambar berikut. 10 9 8 7 6 5. 4 3 2 1 Х 2 3 4 5 6 8 9 10 -1 -2 Nilai minimum fungsi objektif A(x, y) = x + 5y untuk daerah yang diarsir di atas adalah .... 2 d. 30 a. b. 7 e. 35 C. 10 

Hai Pahamifren, misalkan nih kalian punya suatu usaha, dan kalian ingin memaksimumkan pendapatannya atau bisa juga meminimumkan pengeluarannya. Untuk membantu kalian menentukan berapa sih produk A diproduksi dan berapa banyak produk B diproduksi agar pendapatan maksimum kita bisa lho menggunakan program linear untuk menentukannya. Nah pada soal kali ini yang akan kita cari nilai optimumnya adalah suatu daerah yang diarsir. Untuk dapat menentukan nilai optimumnya kita harus terlebih dahulu mencari semua titik sudut dari daerah yang diarsir tersebut. Berdasarkan hal ini maka konsep yang kita gunakan adalah Penentuan Nilai optimum (Min/Max) dari titik pojok sistem pertidaksamaan (syarat) yang diberikan

Konsep

Diketahui:
Daerah arsiran
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEFEB9AL/program linear.JPG" />
Fungsi objektif \(f(x,y)=x+5y\)
Ditanya:
Nilai minimum dari fungsi objektif.
Jawab:
Metode Uji Titik Pojok
Metode uji titik pojok adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dengan mensubstitusikan titik-titik pojok pada suatu daerah penyelesaian ke fungsi objektifnya. Nilai maksimum adalah nilai terbesar yang diperoleh sedangkan nilai minimum adalah nilai terkecil yang kita peroleh dari hasil substitusi titik pojok.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan uji titik pojok
1) Membuat model matematika dari permasalahan yang diberikan.
2) Gambar grafik yang sesuai dengan model matematika yang dibuat.
3) Tentukan daerah penyelesaiannya dan koordinat titik pojoknya.
4) Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, tentukan nilai optimumnya.

Menentukan persamaan garis yang diketahui grafiknya dan memotong sumbu-x dan-y
Perhatikan grafik garis berikut
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEFEB9AL/grafik.PNG" />
Persamaan garisnya adalah \(ax+by=a\cdot{b}\)

Dari grafik yang kita miliki ada satu titik pojok yang belum kita ketahui koordinatnya. 
Perhatikan
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEFEB9AL/grafik 2.PNG" />
Koordinat titik pojok A adalah \((0, 6)\)
Koordinat titik pojok B adalah \((0, 2)\)
Untuk koordinat titik C, kita perlu menentukannya dengan cara mencari titik potong dari 2 garis.

Karena persamaan garis belum diketahui maka kita perlu mencari persamaan garisnya terlebih dahulu.
Perhatikan bahwa garis yang menghubungkan titik A dan C memotong sumbu-y di \(y=6\) dan memotong sumbu-x di \(x=7\), maka persamaan garisnya adalah \(6x+7y=6\cdot7\) atau \(6x+7y=42\).

Perhatikan bahwa garis yang menghubungkan titik B dan C memotong sumbu-y di \(y=2\) dan memotong sumbu-x di \(x=6\), maka persamaan garisnya adalah \(2x+6y=2\cdot6\) atau \(2x+6y=12\).
Sehingga kita akan mencari titik potong antara garis \(6x+7y=42\) dan \(2x+6y=12\).
Eliminasi \(x\) dari dua persamaan garis
\(6x+7y=42\)
\(2x+6y=12\) kalikan dengan 3

\(6x+7y=42\)
\(6x+18y=36\)
_______________ -
\(-11y=6\)
\(y=-\frac{6}{11}\)

Substitusi \(y=-\frac{6}{11}\) ke persamaan\(2x+6y=12\) 
\(2x+6(-\frac{6}{11})=12\) 
\(2x-\frac{36}{11})=12\) 
\(2x=12+\frac{36}{11}\) 
\(2x=\frac{132}{11}+\frac{36}{11}\) 
\(2x=\frac{168}{11}\) 
\(x=\frac{168}{11\cdot2}\) 
\(x=\frac{84}{11}\) 

Sehingga koordinat \(C\) adalah \((\frac{84}{11}, -\frac{6}{11})\)

Nilai fungsi optimum untuk setiap titik pojok 

Untuk A \((0, 6)\)
\(f(0,6)=0+5(6)=30\)

Untuk B \((0, 2)\)
\(f(0,2)=0+5(2)=10\)

Untuk C \((\frac{84}{11}, -\frac{6}{11})\)
\(f(\frac{84}{11}, -\frac{6}{11})=\frac{84}{11}+5(-\frac{6}{11})\)
\(=\frac{84}{11}-\frac{30}{11}=\frac{54}{11}\)

Jadi nilai minimumnya adalah \(\frac{54}{11}\) yang dicapai pada titik \((\frac{84}{11}, -\frac{6}{11})\).

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai minimum fungsi objektif \(f(x,y)=x+5y\) adalah \(\frac{54}{11}\).