13. Suku banyak f(x) = 3x3 – 2x2 + ax + b dibagi (x2 – X – 2) bersisa (8x + 4). Jika f(x) dibagi oleh (x – 3), sisa pembagiannya adalah ... 

Pada soal di atas, diketahui sisa dari pembagian suku banyak oleh suatu pembagi yang salah satu koefisien dan konstanta dari suku banyak tersebut masih berupa variabel. Kemudian, dengan menggunakan modal yang diberikan kita diminta untuk mencari sisa atas pembagian suku banyak yang sama oleh pembagi yang baru dengan terlebih dahulu mencari nilai koefisien dan konstanta yang belum diketahui. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan soal ini akan kita gunakan konsep <b>teorema sisa dengan pembagi</b> pada bab <b>suku banyak (polinomial)</b>.

Identifikasi Konsep

Berdasarkan identifikasi konsep, diketahui suku banyak yang diberikan pada soal adalah \(f(x)=3x^3-2x^2+ax+b\). Kemudian, suku banyak tersebut dibagi oleh \(x^2-x-2\) bersisa \((8x+4)\). Lalu, dengan menggunakan modal yang ada, kita diminta untuk menentukan sisa dari pembagian \(f(x)\) oleh \((x-3)\). Untuk itu, dalam menyelesaikan soal ini harus kita cari nilai \(a\) dan \(b\) yang ada pada \(f(x)\) kemudian dilanjutkan dengan mencari jawaban atas pertanyaan yang diberikan. Maka disini akan kita uraikan terlebih dahulu konsep pembagian pada suku banyak.

\(fungsi\space suku\space banyak = pembagi \cdot hasil\space bagi + sisa\)

atau misalkan terdapat suku banyak \(f(x)\) yang jika kita bagi dengan \(p(x)\) akan bersisa \(s(x)\), maka

\(f(x)=p(x)\cdot h(x)+s(x)\) 

Kemudian, karena yang diketahui dan yang ditanyakan pada soal ada kaitannya dengan sisa pembagian suku banyak, maka disini akan kita uraikan juga konsep mengenai teorema sisa yang dapat kita gunakan yaitu:

\(\bullet Jika\space suku\space banyak\space f(x)\space dibagi\space dengan\space (x-k),\space maka\space sisanya\space adalah\space f(k)\) 
\(\bullet Jika\space suku\space banyak\space f(x)\space dibagi\space dengan\space (x-a)(x-b),\space maka\space sisanya\space adalah\space (px+q)\) 

Sehingga, dengan menggunakan konsep di atas untuk mencari nilai \(a\) dan \(b\) yang ada pada \(f(x)\) akan kita uraikan terlebih dahulu modal yang diberikan yaitu suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x^2-x-2)\) bersisa \(8x+4\), maka dapat kita tuliskan yaitu

\(f(x)=(x^2-x-2)\cdot h(x)+(8x+4)\)

subtitusikan \(f(x)=x^3-2x^2+ax+b\) dan faktorkan bentuk kuadrat yang ada menjadi

\(3x^3-2x^2+ax+b=(x+1)(x-2)\cdot h(x)+(8x+4)\)

pembagi yang ada terbagi menjadi dua yaitu \((x+1)\) dan \((x-2)\), maka

\(\bullet \space (x+1)\rightarrow f(-1)\)

\(f(-1)=(-1+1)(-1-2)\cdot h(-1)+(8\cdot (-1)+4)\)
\(3\cdot (-1)^3-2\cdot (-1)^2+a\cdot (-1)+b=0\cdot -3\cdot h(-1)+(-4)\)
\(-3-2-a+b=-4\)
\(-a+b=-4+3+2\)
\(-a+b=1\space ...\space (1)\)

\(\bullet \space (x-2)\rightarrow f(2)\)

\(f(2)=(2+1)(2-2)\cdot h(2)+(8\cdot 2+4)\)
\(3\cdot 2^3-2\cdot 2^2+a\cdot 2+b=3\cdot 0\cdot h(2)+20\)
\(24-8+2a+b=20\)
\(2a+b=20-24+8\)
\(2a+b=4\)
\(b=4-2a\space ...\space (2)\)

Berikutnya, subtitusikan persamaan \((2)\) ke persamaan \((1)\) untuk mendapatkan nilai dari \(c\) dan \(d\), yaitu

\(-a+b=1\)
\(-a+(4-2a)=1\)
\(-a+4-2a=1\)
\(-3a=-3\)
\(a=\frac{-3}{-3}\)
\(a=1\)

subtitusikan \(a=1\) ke persamaan \((2)\), maka

\(b=4-2a\)
\(b=4-2\cdot 1\)
\(b=4-2\)
\(b=2\)

Artinya dengan menggunakan \(a=1\) dan \(b=2\) dapat kita peroleh suku banyak yang diberikan pada soal secara lengkap yaitu \(f(x)=3x^3-2x^2+x+2\) yang kemudian akan kita cari sisa dari pembagian \(f(x)\) oleh \((x-3)\) sesuai dengan pertanyaan yang ada pada soal dengan menggunakan konsep teorema sisa, yaitu:

\(f(x)=3x^3-2x^2+x+2\) dibagi dengan \((x-3)\), sisanya adalah

\(f(3)=3\cdot 3^3-2\cdot 3^2+3+2\)
\(f(1)=81-18+5\)
\(f(1)=68\)

Identifikasi Masalah dan Pembahasan Solusi

Jadi, berdasarkan uraian dan perhitungan di atas dapat kita simpulkan bahwa jawaban atas pertanyaan yang ada pada soal yaitu sisa pembagian \(f(x)\) oleh \((x-3)\) adalah 68.