14. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 4 = 0 yang ditarik dari titik (1, 10) di luar lingkaran! 

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik. Persamaan garis singgung tersebut bisa ditarik dari titik yang terletak pada lingkaran maupun titik yang berada di luar lingkaran. Pada soal diketahui persamaan lingkaran yaitu:
 
\(x^2+y^2-4x+6y-4=0\)

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik \((1,10)\) yang berada diluar lingkaran, akan digunakan konsep persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik diluar lingkaran.

STEP 1 Identifikasi Konsep

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik diluar lingkaran, akan digunakan beberapa konsep berikut ini.

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di \((a,b)\) dan berjari-jari \(r\) serta melalui titik \((x,y)\) dan bergradien \(m\) adalah
\(y-b=m(x-a)±r\sqrt{m^2+1}\)

Sedangkan persamaan garis lurus yang melalui titik \((x_1,y_1)\) dan bergradien \(m\) adalah 
\(y-y_1=m(x-x_1)\)

Karena garis singgung tersebut menyinggung lingkaran dan melalui titik \((x_1,y_1)\) maka akan digunakan kedua konsep tersebut untuk menentukan persamaan garis singgung lingkarannya.

Sebelum menentukan persamaan garis singgung lingkarannya, terlebih dahulu kita tentukan pusat dan jari-jari lingkarannya. Jika kita mempunyai persamaan lingkaran \(L≡x^2+y^2+Ax+By+C=0\) maka:

Pusat lingkarannya adalah
 \(P(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\) 
Jari-jari lingkarannya adalah 
\(r=\sqrt{({\frac{-A}{2})^{2}+({\frac{-B}{2})^{2}-C}}}\)

Sehingga kita peroleh pusat dan jari-jari dari lingkaran \(x^2+y^2-4x+6y-4=0\) yaitu:

Pusat lingkaran
 \(P(\frac{-(-4)}{2},\frac{-6}{2})\) yaitu P(2,-3)
Jari-jari lingkarannya 
\(r=\sqrt{({\frac{-A}{2})^{2}+({\frac{-B}{2})^{2}-C}}}\)
\(r=\sqrt{2^2+(-3)^2-(-4)}\)
\(r=\sqrt{4+9+4}\)
\(r=\sqrt{17}\) 

Selanjutnya kita akan tentukan gradien dari garis singgung lingkaran \( x^2+y^2-4x+6y-4=0\) yang berpusat di titik \((2,-3)\), berjari-jari \(\sqrt{17}\) serta melalui titik \((1,10\)) yaitu

 \( y-b=m(x-a)±r\sqrt{m^2+1}\)
 \(10-(-3)=m(1-2)±\sqrt{17} \sqrt{m^2+1}\)
 \(10+3=m(-1)±\sqrt{17} \sqrt{m^2+1}\)
 \(13=-m±\sqrt{17} \sqrt{m^2+1}\)
 \(m+13=±\sqrt{17} \sqrt{m^2+1}\)
 (kuadratkan kedua ruas)
 \((m+13)^{2}=(\pm\sqrt{17}\sqrt{m^2+1})^{2}\)
 \(m^2+26m+169=17(m^2+1)\)
 \(m^2+26m+169=17m^2+17\)
 \(17m^2-m^2-26m-169+17=0\)
 \(16m^2-26m-152=0\) 
(bagi kedua ruas dengan 2)
 \(8m^2-13m-76=0\)
\((8m+19)(m-4)=0\)
Diperoleh
 \(8m+19=0\) atau \(m-4=0\)
 \(m=-\frac{19}{8}\) atau \(m=4\)

Maka diperoleh gradiennya yaitu \(m=4\) atau \(m=-\frac{19}{8}\)

Untuk memperoleh persamaan garis singgung lingkaran yang berjari-jari \(\sqrt{17}\)dan melalui titik \((1,10)\), kita substitusikan gradien yang telah diperoleh sebelumnya ke persamaan garis berikut
\(y-y_1=m(x-x_1)\)

Untuk \(m=4\) persamaan garisnya adalah
\( y-10=4(x-1)\)
 \(y-10=4x-4\)
 \(4x-y-4+10=0\)
 \(4x-y+6=0\)

Untuk \(m=-\frac{19}{8}\) persamaan garisnya adalah
 \(y-10=-\frac{19}{8}(x-1)\)
 (kalikan kedua ruas dengan 8)
 \(8y-80=-19(x-1)\) 
\(8y-80=-19x+19\) 
\(19x+8y-80-19=0\) 
\(19x+8y-99=0\)

STEP 2 Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi diperoleh persamaan garis singgung lingkaran  \(x^2+y^2-4x+6y-4=0\)  yang melalui titik \((1,10)\) diluar lingkaran adalah  \(4x-y+6=0\) atau \(19x+8y-99=0\)