14. Ubahlah persamaan sistem koordinat kartesius x2 – 4y2 = 4 ke dalam sistem koordinat polar! 

Pada soal ini kita diminta untuk mengubah persamaan sistem koordinat kartesius ke bentuk persamaan sistem koordinat polar . Sehingga untuk mengerjakan soal ini kita akan menggunakan Konsep Sistem Koordinat Kartesius dan Sistem Koordinat Polar.

Dalam ilmu Matematika pasti kita sudah tidak asing lagi dengan istilah koordinat kartesius Matematika. Sistem koordinat kartesius mulai diperkenalkan pada pelajaran Matematika sejak SD yang selanjutnya digunakan dalam penyelesaian berbagai masalah aljabar serta geometri pada pelajaran selanjutnya.

Sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan letak titik relatif yang terdapat diantara dua sumbu, yakni sumbu $x$ dan $y$. Penulisan koordinat dalam kartesius dapat berupa $(x, y)$, dimana $x$ adalah absis yang letak posisi titik relatifnya di sumbu $x$ dan $y$ adalah ordinat yang letak posisi titik relatifnya di sumbu $y$. Berikut ilustrasi gambar sistem koordinat kartesius.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-25/LessonId-1913/ModuleId-2/QuestionCode-21HJNMPJD72/sistem koordinat kartesius.PNG" />

Selain koordinat kartesius juga terdapat jenis koordinat lain, salah satunya adalah sistem koordinat polar atau juga disebut sebagai koordinat kutub. Koordinat polar merupakan suatu koordinat yang ada pada kartesius yang terletak pada suatu lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ , sehingga koordinat polar ditulis berdasarkan jari-jari $r$ dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu $X$ positif. Penulisan koordinat dalam polar dapat ditulis $(r,\theta)$.Berikut ilustrasi gambar sistem koordinat polar.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-25/LessonId-1913/ModuleId-2/QuestionCode-21HJNMPJD72/sistem koordinat polar.PNG" />

Berdasarkan penjelasan tersebut, koordinat polar berhubungan dengan koordinat kartesius. Sehingga kita bisa saling mengkonversi antara koordinat polar dan koordinat kartesius.

Jika koordinat polar titik A $(r,\theta°)$ diketahui maka koordinat cartesius titik $A(x, y)$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
<ul><li>$x = r \cos \theta $</li><li>$y= r \sin \theta $</li></ul>
Jika koordinat kartesius titik $A(x, y)$diketahui maka koordinat polar titik $A(r,\theta°)$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
1. Hitung jari-jari $r$ dengan rumus:
<ul><li>$r^2 = x^2+y^2$</li></ul>
2. Hitung $\theta$ dengan rumus:
 $\tan \theta = \frac{y}{x} $ sehingga $\theta = \arctan \frac{y}{x} $

Nilai $\theta$ ditentukan oleh kuadran, yaitu:
<ul><li>Jika $x$ positif yang $y$ positif, maka berada di Kuadran I</li><li>Jika $x$ negatif yang $y$ positif, maka berada di Kuadran II</li><li>Jika $x$ negatif yang $y$ negatif, maka berada di Kuadran III</li><li>Jika $x$ positif yang $y$ negatif, maka berada di Kuadran IV</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini kita diminta mengubah persamaan sistem koordinat kartesius ke persamaan sistem koordinat polar, sehingga kita bisa menggunakan rumus sesuai identifikasi konsep.

Diketahui persamaan sistem koordinat polar:
$x^2 - 4y^2 = 4 $

Pada identifikasi konsep diketahui bahwa:
<ul><li>$r^2 = x^2 + y^2 $</li><li>$ x = r .\cos \theta $</li><li>$ y = r .\sin \theta $</li></ul>
Selanjutnya kita ubah persamaan sistem koordinat kartesius menjadi polar dengan substisusi rumus-rumus tersebut ke soal.
$x^2 - 4y^2 = 4 $
$ (r.\cos \theta)^2 - 4(r.\sin \theta)^2 = 4 $
$ r^2 .\cos^2 \theta - 4.r^2\sin^2 \theta= 4 $
$ r^2 (\cos^2 \theta - 4\sin^2 \theta) = 4 $
Ingat : $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
$ r^2 ( 1- \sin^2 \theta - 4\sin^2 \theta) = 4 $
$ r^2 ( 1- 5\sin^2 \theta) = 4 $
$ r^2 = \frac{4}{( 1- 5\sin^2 \theta)}$

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan sistem koordinat  kartesius:
$x^2 - 4y^2 = 4 $
jika diubah menjadi persamaan sistem koordinat polar menjadi:
$ r^2 = \frac{4}{( 1- 5\sin^2 \theta)}$


Pembahasan