15. Asimtot miring dari fungsi g(x) memiliki gradien sebesar ... x4-2 x3+1 

Asimtot adalah sebuah garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung, dimana kurva tersebut sangat dekat dengan garis asimtot tetapi kurva ini tidak akan memotong garis asimtot tersebut. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring. Namun tidak semua fungsi memiliki asimtot. Diantara fungsi yang mempunyai asimtot adalah fungsi rasional dengan penyebutnya bernilai nol untuk nilai tertentu. Dalam soal ditunjukkan sebuah fungsi raisonal yaitu :

\(g(x)=\frac{x^{4}-2}{x^{3}+1}\)

Untuk menentukan gradien dari asimtot miring pada fungsi diatas, akan digunakan <b>konsep fungsi rasional dan perhitungan asimtot.</b>

STEP 1 Identifikasi Konsep

Fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk umum:

\(V(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)

dengan \(f(x)\) dan \(g(x)\) merupakan suatu polinom (suku banyak), \(g(x)\neq0\) dan juga bukan fungsi konstan.

\(y=ax+b\) disebut asimtot miring dari sebuah fungsi \(y=f(x)\) jika dipenuhi syarat

\(lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-(ax+b)=0\)

dengan

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-a(x)\)

Pada soal diatas ditunjukkan fungsi rasional yaitu \(g(x)=\frac{x^{4}-2}{x^{3}+1}\), sehingga bisa kita peroleh asimtot miringnya.
Jika asismtot miringnya adalah \(y=ax+b\) dengan \(lim_{x\rightarrow∞}f(x)-(ax+b)=0\) maka terlebih dahulu akan kita tentukan nilai \(a\) dan \(b\).

Kita tentukan nilai \(a\) yaitu:

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{x}\)

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}g(x)\frac{1}{x}\)

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x^{4}-2}{x^{3}+1})\frac{1}{x}\)

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x^{4}-2}{x^{4}+x})\)

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x^{4}(1-\frac{2}{x^{4}})}{x^{4}(1-\frac{x}{x^{4}})})\)

\(a=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{2}{x^{4}})}{(1-\frac{1}{x^{3}})}\)

\(a=\frac{1-0}{1-0}\)

\(a=1\)

Kita tentukan nilai \(b\) yaitu:

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}g(x)-ax\)

karena \(a=1\) maka

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x^{4}-2}{x^{3}+1})-x\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{4}-2-x(x^{3}+1)}{x^{3}+1}\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{4}-2-x^{4}+x}{x^{3}+1}\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-2}{x^{3}+1}\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}})}{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})}\)

\(b=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}{1+\frac{1}{x^{3}}}\)

\(b=\frac{0-0}{1+0}\)

\(b=\frac{0}{1}\)

\(b=0\)

Diperoleh \(a=1\) dan \(b=0\) sehingga diperoleh asimtot miringnya adalah 
\(y=ax+b\)
\(y=(1)x+0\)
\(y=x\)

Pada persamaan garis dengan bentuk \(y=mx+c\), gradien garisnya adalah koefisien dari variabel \(x\). Sehingga kita peroleh gradien garis \(y=x\) adalah \(m=1\)

STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi diperoleh asimtot miring dari fungsi \(g(x)=\frac{x^{4}-2}{x^{3}+1}\) adalah garis \(y=x\) dengan gradien \(1\).