15.Bayangan lingkaran oleh refleksi terhadap garis x = 1 yang kemudian dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis y = 0 adalah x2 + y2 - 10x – 4y + 13 = 0, maka persamaan lingkaran mula-mula adalah ... 

Hai Pahamifren, kalian pasti sering bercermin kan? Saat bercermin kalian akan menggunakan cermin sebagai alatnya. Nah pada bidang geometri kita juga dapat mencerminkan undur unsur yang ada di dalamnya hanya saja cermin yang digunakan bukan cermin seperti yang kita gunakan melainkan dapat berupa titik maupun garis. Coba lihat soal yang kita punya! di soal tersebut kita akan persamaan awal suatu lingkaran jika bayangan dari lingkaran yang direfleksikan terhadap garis \(x=1\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi teradap garis \(y=0\) adalah \(x^2+y^2-10x-4y+13=0\). Sekarang coba perhatikan, kedua garis tersebut adalah saling tegak lurus. Artinya kita akan menggunakan konsep Refleksi Berurutan terhadap 2 garis tegak lurus

Konsep

Diketahui:
Persamaan bayangan dari suatu lingkaran yang direfleksikan terhadap garis \(x=1\) dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y=0\) adalah \(x^2+y^2-10x-4y+13=0\)
Ditanya:
Persamaan lingkaran mula-mula
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.

Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya \(A'(x', y')\) sama dengan rotasi titik \(A(x, y)\) dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar \(180^\circ\). 
Misalkan titik potong kedua garis adalah \((p, q)\) maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\\)

Perhatikan
Suatu lingkaran direfleksi terhadap garis \(x=1\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(y=0\), Garis \(x=1\) dan \(y=0\) adalah garis yang saling sejajar dan saling berpotongan pada titik \((1, 0)\). Komposisi pencerminan terhadap garis \(x=1\) dan \(y=0\) dapat dituliskan sebagai rotasi dengan pusat \((1, 0)\) dengan sudut \(180^\circ\). Jadi, untuk mencari persamaan mula mula kita dapat gunakan rumus yang kita miliki diatas.
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(1)\\ -y+2(0)\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2\\ -y\end{array}\right)\)
Sehingga kita punya dua persamaan yaitu
\(x'=-x+2\) dan \(y'=-y)
Untuk menentukan persamaan lingkaran mula-mula maka kita akan substitusikan persamaan yang kita peroleh tadi, bayangan lingkaran artinya kita tambahkan aksen pada tiap variabelnya
\(x'^2+y'^2-10x'-4y'+13=0\)
\((-x+2)^2+(-y)^2-10(-x+2)-4(-y)+13=0\)
\(x^2-4x+4+y^2+10x-20+4y+13=0\)
\(x^2+y^2+6x+4y-3=0\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan lingkaran mula-mula adalah \(x^2+y^2+6x+4y-3=0\).