15. Suatu variabel acak kontinu T memiliki fungsi peluang sebagai berikut: 0, untuk t yang lain f(t) = {t+1 , untuk 1 < t < 7 30 1 Jika P(T <n) 5, tentukan nilai dari n!

Pada soal ini diketahui bentuk fungsi distribusi peluang variabel acak kontinu $T$. Diketahui nilai dari peluang saat T tertentu. Kita diminta untuk menentukan T yang memenuhi pada fungsi tersebut. Variabel acak merupakan variabel yang nilainya ditentukan dalam ruang sampel suatu percobaan. Variabel acak dinyatakan dalam huruf besar, sedangkan nilai variabel acak dinyatakan dengan huruf kecil dimana ditentukan berdasarkan banyak percobaan yang dilakukan.Variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. 

Variabel acak diskrit berhubungan dengan hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek atau indvidu. Jika percobaan dilakukan sebanyak $n$ kali, maka nilai variabel acak diskrit adalah $0,1,2,3, .. n$. Distribusi peluang variabel acak diskrit merupakan suatu cara untuk menyajikan peluang nilai-nilai variabel acak diskrit. 
Peluang nilai variabel acak $X$ dinotasikan dengan $f(x)=P(X=x)$.
Dalam membuat suatu fungsi peluang untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.
1. $f(x) \ge 0$ atau $0 \le f(x) \le 1$
2.$\sum f(x) = 1 $

Variabel acak kontinu memiliki nilai berupa bilangan real sehingga nilai-nilai variabel acak kontinu $X$ dinyatakan dalam bentuk interval $a < X < b$ atau batas-batas lain. Fungsi peluang variabel acak kontinu disebut fungsi kepadatan peluang. Fungsi kepadatan peluang $f(x)$ memiliki sifat-sifat berikut.
a.	$0 \le f(x) \le 1$, untuk setiap $x$
b.	Luas daerah dibawah kurva $f(x)$ sama dengan $1$
c.	Peluang variabel acak X pada interval $a \le X \le b$ sama dengan luas daerah dibawah kurva f(x) yang dibatasi oleh $x=a$ dan $x=b$. 

Peluang Variabel acak $X$ pada interval 
$a \le X \le b$ dinyatakan dengan:
$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$

Catatan:
$P(X \le a) = P(X < a)$
$P( X \ge a) = P(X > a)$

$P ( a \le X \le b) = P(a \le X < b ) = P(a < X \le b)= P(a < X < b)$

Pada variabel acak kontinu, fungsi distribusi kumulatif variabel acak X didefinisikan sebagai:
$F(x) = P (X \le x ) = \int_a^x f(k) dk$
Fungsi distribusi kumulatif variabel acak $X$ pada interval $a \le X \le b$ memiliki sifat-sifat berikut.
a.	Nilai $F(a)=0$ dan $F(b)=1$
b.	Untuk $a \le x_1 \le x_2 \le b$ diperoleh:
$F(x_1) \le F(x_2)$
$P(x_1 \le X \le x_2) = F(x_2)- F(x_1)$
c.	$0 \le F(x) \le 1$ untuk setiap $x$
d.	$F’(X) = f(x)$

Untuk mengerjakan soal terkait variabel acak diskrit perlu kita ingat juga rumus dasar integral, yaitu:
1. Integral Tak Tentu
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C $
dengan $n\ne1$

2. Integral Tentu
Jika F$(x)$ merupakan integral dari $f(x)$, maka:
$\int_a^b f(x) dx= F(x) ]_a^b = F(b)-F(a) $

Pada soal ini diketahui bentuk fungsi distribusi peluang variabel acak kontinu $T$. Diketahui nilai dari peluang saat T tertentu. Kita diminta untuk menentukan T yang memenuhi pada fungsi tersebut. Oleh karena itu, untuk mengerjakan soal ini kita akan gunakan Konsep Variabel Acak Kontinu

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal diketahui fungsi variabel acak kontinu T:
$f(t)= \begin{cases} 0, & untuk t yang lain\\ \frac{t+1}{30}, & untuk 1 < x \le 7 \end{cases} $
Kita diminta untuk menghitung nilai nilai n yang memenuhi nilai dari $P(T < n)= \frac{1}{5}$

Solusi

Berdasarkan pemaparan identifikasi konsep:
Peluang variabel acak kontinu $X$ pada interval $a \le X \le b$ sama dengan luas daerah dibawah kurva f(x) yang dibatasi oleh $x=a$ dan $x=b$.

Pada soal ini diketahui bahwa nilai X terdefinisi untuk $1 < T \le 7$, sehingga hanya memiliki batas bawah 1 dan batas atas sampai $7$. Lebih dari itu memiliki nilai 0 karena untuk nilai $t$ yang lain. Hal tersebut menyebabkan:
 $P(T < n) = P ( 1 < X \le n)$

$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$, sehingga:
$P ( 1 < T \le n) = \int_1^n f(T) dt$
$ \int_1^n \frac{t+1}{30} dt = \frac{1}{5} $
$ \frac{1}{30}.[\frac{t^2}{2} + t]_1^n = \frac{1}{5} $
$ [\frac{t^2}{2} + t]_1^n = \frac{30}{5} $
$ (\frac{n^2}{2} + n)- (\frac{1^2}{2} + 1) = 6 $
Kedua Ruas di Kali $2$
$ n^2 + 2n – 1-2 = 12 $
$ n^2 + 2n – 15 =0 $
$(n+5)(n-3)=0$
$ n+5 = 0$, sehingga $ n = -5 $
$ n-3=3$, sehingga $n=3$
Nilai n yang dipilih adalah nilai n yang berada pada interval $ 1 < t \le 7 $ (Sesuai Soal)
Jadi, kita pilih untuk n = 3

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai dari $n$ yang memenuhi adalah $3 $

Pembahasan