16. Buktikan untuk n bilangan asli, berlaku 1 1 1 1 1 3/ n+1 n+1 

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dalam matematika. Secara umum, induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli \(n\) adalah bernilai benar untuk semua nilai \(n\) yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu. Dalam soal kita diminta untuk membuktikan bahwa untuk \(n\) bilangan asli berlaku:

\((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{n+1}\)

Untuk membutikan pernyataan diatas, akan digunakan konsep induksi matematika dalam baris dan deret.

STEP 1 Identifikasi Konsep

Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah. Langkah pertama disebut sebagai langkah dasar (basic step) dan langkah kedua disebut sebagai langkah induktif (inductive step).

Pandang suatu pernyataan “untuk sebarang bilangan asli \(n\geq a\) dengan \(a\) adalah bilangan asli tertentu, sifat \(P(n)\) bernilai benar”. Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan menjalankan dua langkah berikut:
1. Langkah dasar (basic step)
Akan ditunjukkan bahwa P(a) bernilai benar.
2. Langkah induktif (inductive step)
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli \(k\geq a\), dengan \(a\) adalah bilangan asli tertentu, jika \(P(k)\) bernilai benar maka \(P(k+1)\) juga bernilai benar.

Sehingga kita bisa buktikan soal diatas dengan kedua langkah tersebut.
Misalkan:

\(P(n)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{n+1}\)

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan P(n), kita harus menyelidiki apakah P(n) memenuhi prinsip induksi matematika.

1. Langkah dasar (basic step)
Akan ditunjukkan bahwa \(P(1)\) bernilai benar, yaitu
untuk \(n=1\) maka:

\(P(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}\)

Jadi \(P(1)\) bernilai benar. (langkah dasar selesai)

2. Langkah induktif (inductive step)
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli \(n=k\geq1\) bernilai benar maka \(P(k+1)\) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa \(P(k)\) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli \(n=k\geq1\), yaitu

\(P(k)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{k+1}\)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk \(n=k+1\) maka \(P(k+1)\) juga bernilai benar yaitu

\(P(k+1)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{k+1})(1-\frac{1}{(k+1)+1})=\frac{1}{(k+1)+1}\)

Karena \(P(k)=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{k+1}\) adalah pernyataan yang benar, maka dari ruas kiri \(P(k+1)\) diperoleh:

\((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{k+1})(1-\frac{1}{(k+1)+1})=\{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{k+1})\}(1-\frac{1}{(k+1)+1})\)

pernyataan dalam kurung kurawal kita ganti dengan \(\frac{1}{k+1}\) sesuai dengan pernyataan \(P(k)\) sebagai berikut:

\(=\frac{1}{k+1}(1-\frac{1}{(k+1)+1})\)

\(=\frac{1}{k+1}(1-\frac{1}{k+2})\)

\(=\frac{1}{k+1}(\frac{(k+2)-1}{k+2})\)

\(=\frac{1}{k+1}(\frac{k+1}{k+2})\)

\(=\frac{(k+1)}{(k+1)(k+2)}\)

\(=\frac{1}{k+2}\)

\(=\frac{1}{(k+1)+1}\)

Kedua ruas \(P(k+1)\) sama, maka \(P(k+1)\) bernilai benar. (langkah induktif selesai).

STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah selesai, menurut prinsip induksi matematis terbukti bahwa pernyataan

\((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{n+1}\)

bernilai benar untuk semua bilangan asli \(n\geq1\).