19. Bayangan titik P(-8, 4) yang direfleksikan terhadap y = x dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = -x adalah... 

Refleksi/pencerminan adalah salah satu jenis transformasi geometri yang memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin datar. Pada soal diatas ditunjukkan sebuah titik \(P(-8,4)\) yang direfleksikan terhadap garis \(y=x\), kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y=-x\). Karena garis \(y=x\) dan \(y=-x\) saling tegak lurus, maka untuk memperoleh titik bayangan hasil refleksinya, kita akan gunakan <b>konsep refleksi berurutan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.</b>

STEP 1 Identifikasi Konsep

<b>Dua buah garis dikatakan tegak lurus apabila hasil kali kedua gradien garis tersebut adalah \(-1\). </b>Gradien \((m)\) dari garis dengan persamaan \(y=mx+c\) adalah koefisien dari variabel x. 

Jika kita mempunyai dua persamaan garis yaitu \(y=m_{1}x+c\)dan \(y=m_{2}x+c\), dua garis tersebut saling tegak lurus apabila memenuhi syarat:

\(m_{1}\times m_{2}=-1\)

Selanjutnya kita akan periksa apakah garis \(y=x\) dan \(y=-x\) saling tegak lurus dengan syarat diatas, yaitu:

garis \(y=x\) gradiennya adalah \(m_{1}=1\)
garis \(y=-x\) gradiennya adalah \(m_{2}=-1\)

sehingga

\(m_{1}\times m_{2}=1\times(-1)=-1\)

Karena hasil kali kedua gradien garis adalah \(-1\), maka garis \(y=x\) dan \(y=-x\) saling tegak lurus.

Untuk menentukan hasil bayangan suatu titik yang direfleksikan berurutan terhadap dua garis yang saling tegak lurus, kita bisa gunakan aturan berikut ini.

Jika titik \(A(x,y)\) direfleksikan oleh garis \(y=x\) yang dituliskan dengan \(M_{y=x}\) dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y=-x\), kita tuliskan dengan \(M_{y=-x}\), dimana kedua garis saling tegak lurus, maka titik hasil refleksinya adalah

\(A(x,y)\xrightarrow{M_{y=-x}\circ M_{y=x}}A''(-x,-y)\)

Jika titik hasil pencerminannya adalah \(A''(x'',y'')\) maka diperoleh bahwa

\(x''=-x\) dan
\(y''=-y\)

Pada soal, titik \(P(-8,4)\) akan direfleksikan terhadap garis \(y=x\), kemudian dilanjutkan dengan refleksi oleh garis \(y=-x\), sehingga kita peroleh bayangan titik hasil refleksinya adalah

\(x''=-x\)
\(x''=-(-8)\)
\(x''=8\)

dan

\(y''=-y\)
\(y''=-4\)

Kita peroleh titik bayangan hasil refleksinya adalah \(P''(8,-4)\)


STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi bayangan titik \(P(-8,4)\) yang direfleksikan terhadap garis \(y=x\), kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y=-x\) adalah titik \(P''(8,-4)\)