19. Dua buah lingkaran yaitu : L1 = x2 + y2 + 4x – 4y - 8 = 0 dan L2 = x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0 saling berpotongan. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran serta memiliki pusat dititik (6,2). 

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Kita diminta untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong serta memiliki pusat disuatu titik tertentu. Dalam mengerjakan soal ini kita akan banyak membahas tentang Bab Lingkaran utamanya tentang konsep Berkas Lingkaran.

Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat melalui titik potong dua buah lingkaran.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-25/LessonId-486/ModuleId-2/QuestionCode-21GWHVIRIQT/BERKAS LINGKARAN.PNG" />
 Gambar 1. Berkas Lingkaran

Persamaan berkas lingkaran \(L_1\) dan \(L_2\) adalah:
\(L_1+λL_2=0\)

Dengan λ adalah suatu parameter.
Nilai parameter ini dapat ditentukan dari titik lain yang dilalui oleh berkas lingkaran.
	<ul><li>Jika \(λ=0\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1=0\)</li><li>	Jika \(λ=∞\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_2=0\)</li><li>	Jika \(λ=-1\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1- L_2=0\)</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yaitu:
\(L_1 ≡{x^2+y^2+4x-4y-8=0}\) dan 
\(L_2≡{x^2+y^2-6x-4y+9=0}\)

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut serta berpusat di titik (6,2), terlebih dahulu kita akan mencari pusat lingkaran dari rumus berkas lingkaran sebagai berikut:
\(L_1+λL_2=0\)
\((x^2+y^2+4x-4y-8)+ λ(x^2+y^2-6x-4y+9)=0\)
\((x^2+y^2+4x-4y-8)+( λx^2+ λy^2-6λx-4λy+9λ)=0\)
\((1+λ)x^2+(1+λ)y^2+((4-6λ)x-(4+4λ)y-(8-9λ)=0\)
Kedua ruas dibagi (1+λ)
\( x^2 + y^2 + \frac{(4-6λ)}{(1+λ)}.x\ - \frac{(4+4λ)}{(1+λ)}.y\ + \frac{(8-9λ)}{(1+λ)}\ =0 \)

Jika diketahui persamaan lingkaran \( L≡x^2+y^2+Ax+Bx+C=0 \), maka pusat lingkaran adalah \( (a,b)=(-\frac{1}{2}.A\, -\frac{1}{2}.B\ ) \)
Dapat kita hitung juga bahwa:
A=-2a dan B=-2b

Dari persamaan berkas lingkaran yang sudah kita hitung, kita substitusikan pusat lingkaran yang sudah diketahui.
A=-2a
\( \frac{(4-6λ)}{(1+λ)}.x\ = -2.6 \)
\( 4-6λ = -12(1+λ) \)
\( 4-6λ = -12-12λ \)
\( 6λ = -16 \)
\( λ =-\frac{16}{6}\)
\( λ =-\frac{8}{3}\)

Selanjutnya kita substitusikan nilai \(λ\) ke persamaan berkas lingkaran sebagai berikut:
\((x^2+y^2+4x-4y-8)+ λ(x^2+y^2-6x-4y+9)=0\)
Untuk \(λ=-\frac{8}{3}\) , maka persamaan lingkaran yang terbentuk:
\((x^2+y^2+4x-4y-8)+ (-\frac{8}{3})(x^2+y^2-6x-4y+9)=0\)
kedua ruas dikali 3
\((3x^2+3y^2+12x-12y-24)-(8x^2+8y^2-48x-32y+72)=0\)
\({-5x^2-5y^2+60x+20y-96=0}\)
kedua ruas dibagi (-1)
\({5x^2+5y^2-60x-20y+96=0}\)

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan lingkaran yang terbentuk adalah
\(L≡5x^2+5y^2-60x-20y+96=0\)

Pembahasan