19. Setiap orang memerlukan 30 unit protein dan 27 unit glukosa tiap minggu. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut, terdapat dua macam makanan yaitu makanan A dan makanan B. Makanan A setiap 1 kg mengandung 4 unit protein dan 3 unit glukosa. Makanan B setiap 1 kg mengandung 2 unit protein dan 6 unit glukosa. Harga setiap kg makanan A adalah Rp8.000,00 dan makanan B Rp11.000,00. Besarnya biaya minimal yang harus dikeluarkan orang tersebut agar kebutuhan protein dan glukosa tersebut terpenuhi adalah .... a. Rp49.500,00 d. Rp76.000,00 b. Rp60.000,00 e. Rp94.500,00 c. Rp67.000,00 

Pada soal ini diketahui suatu permasalahan dan kita diminta untuk menentukan biaya minimal dari suatu fungsi. Hal ini berkaitan dengan program linear.Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Langkah-langkahnya menyelesaian untuk mencari nilai Optimum dari Program Linear adalah sebagai berikut :
a. Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius. Jika soal masih dalam bentuk pernyataan suatu masalah, maka kita akan mengubahnya kedalam model matematika terlebi dahulu.
b. Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
c. Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
1. Menggunakan garis selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif $f(x, y) = ax + by$ dimana garis selidiknya adalah
$Z=ax + by$
2. Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
Dari nilai Z yang sudah kita hitung, kita akan membandingkan semua nilai Z tersebut untuk ditentukan manakah yang paling besar ataupun yang paling kecil.

Pada soal ini diketahui suatu permasalahan terkait kebutuhan akan protein dan glukosa yang terdapat dalam makanan A dan makanan B berikut dengan harganya masing-masing. Kemudian kita diminta untuk menentukan biaya minimum akan kebutuhan tersebut. Untuk menentukan salah satu nilai optimum ini, akan kita gunakan Konsep Program Linear

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui suatu permasalahan bahwa:
Setiap orang memerlukan $30$ unit protein dan $27$ unit glukosa. Makanan jenis $A$ mengandung $4$ unit protein dan $3$ unit glukosa. Makanan jenis $B$ mengandung $2$ unit protein dan $6$ unit glukosa. Harga makanan jenis A adalah $Rp 8.000,00$ dan Makanan jenis B adalah $Rp11.000,00$
 Kita diminta untuk menentukan biaya minimum agar kebutuhan protein dan glukosa terpenuhi.

SOLUSI
Berdasarkan identifikasi konsep, maka langkah langkah yang harus kita lakukan adalah

Langkah 1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian(DHP) dari kendala-kendala tersebut.
Pada soal ini, kita harus mengubah permasalahan ke dalam model matematika terlebih dahulu.
Kita buat ilustrasi tabel agar lebih mudah membuat model matematikanya.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEIJV99Q/proglin 19 tabel.PNG" />

Misal:
$ x $ : Makanan A
$ y $ : Makanan B
Karena setiap orang memerlukan 30 unit protein dan 27 glukosa, artinya nilai tersebut adalah nilai minimumnya yang bisa didapatkan dari makanan A dan makanan B, sehingga model matematikanya adalah:
1. $ 4x + 2y \ge 30$, atau kita sederhanakan menjadi:
$ 2x + y \ge 15 $ 

2. $3x+6y \ge 27$, atau kita sederhanakan menjadi:
$ x + 2y \ge 9 $

3. Jumlah makanan selalu lebih dari atau sama dengan 0, sehingga:
$x \ge 0$ dan $y \ge 0$

Kemudian kita gambar masing-masing DHP di kendala tersebut.

1.	$ 2x + y \ge 15 $ 

Titik yang dilalui $ 2x+y=15$
Saat $x=0$, $ 2.0+y=15$ sehingga $y=15$
Saat $y=0$, $ 2x+0=15$, sehingga $x=\frac{15}{2}$ 
Sehingga: $ 2x+y=15$ melalui titik $(0,15)$ dan $(\frac{15}{2},0)$
Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaiaan.
Uji Titik $(0,0)$ ke pertidaksamaan 
$2x + y \ge 15$
$ 2.0 + 0 \ge 15$
$0 \ge 0$ (salah)
Jadi, daerah penyelesaian tidak memuat daerah $(0,0)$.
Berikut grafik DHP dari $2x + y \ge 15$
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEIJV99Q/PROGLIN 19-1.PNG" />

2.	$ x + 2y \ge 9 $
Titik yang dilalui $ x+2y = 9$
Saat $x=0$, $ 0+2y =9 $ sehingga $y=\frac{9}{2}$
Saat $y=0$,$ x+2.0=9 $, sehingga $x=9$ 
Sehingga: $ x+y=10$ melalui titik $(0,\frac{9}{2})$ dan $(9,0)$
Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaiaan.
Uji Titik $(0,0)$ ke pertidaksamaan 
$ x+2y \ge 9 $
$ 0 + 2.0 \ge 9 $
$0 \ge 9$ (salah)
Jadi, daerah penyelesaian tidak memuat daerah $(0,0)$.
Berikut grafik DHP dari $ x + 2y \ge 9 $
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEIJV99Q/PROGLIN 19-2.PNG" />

3. Karena $x \ge 0$ dan $y \ge 0$, maka DHP berada di Kuadran 1. 
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan daerah irisan yang memenuhi seluruh pertidaksamaan dalam kendala-kendala tersebut. Sehingga daerah irisan atau DHP dapat kita lihat dari gambar berikut:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-1/LessonId-3/ModuleId-2/QuestionCode-21IGEIJV99Q/Proglin 19-3.PNG" />

Langkah 2. Menentukan Titik Ekstrim dari DHP

Titik ekstrim dari DHP ditunjukkan oleh titik $A,B,C$

Titik ekstim merupakan titik potong dari batasan atau kendala pertidaksamaan. Cara mencari titik potong adalah dengan menentukan nilai $(x,y)$ yang memenuhi 2 garis yang saling berpotongan tersebut. Atau bisa diperhatikan grafik DHP yang sudah dibuat dengan ukuran yang benar seperti pada penyelesaian langkah 1.

Titik ekstrim A. Perpotongan antara garis $2x+y=15$ dengan $x+2y=9$.
Dengan menggunakan metode substitusi:
$2x+y=15$ sehingga $ y = 15-2x $
Kita substitusi nilai $y$ ke persamaan:
$x+2y=9$
$x+2(15-2x)=9$
$ x + 30 – 4x = 9 $
$ -3x = -21 $
$ x = 7$
Kita substitusi nilai $x$ ke persamaan:
$ y = 15-2x $
$ y = 15-2.7 $
$ y = 1 $
Jadi titik $A$ adalah $(x,y)=(7,1)$

Titik Ekstrim $B (0,15)$
Titik Ekstrim $C (9,0)$

Langkah 3. Substitusi nilai ekstrim ke fungsi objektif untuk menentukan nilai optimum.
Fungsi objektif ditentukan dari biaya yang dikeluarkan untuk membeli banyaknya makanan jenis A dan makanan jenis B.
Sehingga Fungsi Objektif: 
$f(x,y) = 8000x+11000y$

1.	Titik $A (7,1)$
$f(7,1) = 8000(7)+11000(1) = 67000$

2.	Titik $B (0,15)$
$f(0,15) = 8000(0)+11000(15) = 165000$

3.	Titik $A (9,0)$
$f(9,0) = 8000(9)+11000(0) = 72000$


Dari nilai fungsi objektif tersebut, biaya minimum terjadi pada saat titik ekstrim $A(7,1)$ yaitu bernilai $Rp 67.000,00$

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, biaya minimal yang harus dikeluarkan orang tersebut adalah $Rp 67.000,00$

JAWABAN : C

Pembahasan