Pada soal diberikan suatu integral tak tentu. Integral ini dapat kita selesaikan dengan Konsep Integral Tak Tentu dengan Metode Parsial.

Step 1: Identifikasi Konsep

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat diselesaikan secara langsung dengan rumus dasar 

\(\int ax^n dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, \ \ n\ne-1 \ \ ...(1)\)

Oleh karena itu, terdapat beberapa metode pengintegralan yang bisa digunakan, salah satunya adalah <b>Integral Parsial </b> yang dirumuskan sebagai berikut

\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU \ \ \ ...(2)\)

dimana kita perlu menentukan mana yang menjadi \(U\) dan \(dV\). Selain itu, kita juga perlu ingat konsep turunan dasar fungsi

\(y=ax^n \ \rightarrow \ y'=\frac{dy}{dx}=anx^{n-1} \ \ \ ...(3)\)

Kita tuliskan kembali soalnya

\(\int \frac{3x}{\sqrt{1-x}} \ dx =  \int 3x . \frac{1}{\sqrt{(1-x)}}\ dx\)

Misalkan \(U=3x\) dan \(dV=\frac{1}{\sqrt{1-x}} \ dx\), maka

\(U=3x\\ dU=3dx\)

\(dV=\frac{1}{\sqrt{1-x}} \ dx =(1-x)^{-\frac{1}{2}} \ dx\\  V=\int (1-x)^{-\frac{1}{2}} dx\\ \)
 untuk mencari \(V\), maka kita misalkan lagi

\(p=1-x\\ dp=-dx\\ dx=-dp\)

dan kita subtitusikan untuk mencari \(V\)

\(V=\int p^{-\frac{1}{2}}  \ (-dp)\\ V=-\int p^{-\frac{1}{2}} \ dp\\ V=-2p^{\frac{1}{2}}\\ V=-2(1-x)^{\frac{1}{2}} \ \ \ ...(4)\)

Setelah itu, subtitusi persamaan yang telah kita dapat ke rumus Integral Parsial (2) 
\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU\\   = (3x)(-2(1-x)^{\frac{1}{2}})-\int -2(1-x)^{\frac{1}{2}}. 3 \ dx \\  =-6x(1-x)^{\frac{1}{2}}+6\int (1-x)^{\frac{1}{2}}\ dx\\\)

dimana integral tersebut bisa kita hitung dengan cara yang sama seperti kita mencari \(V\) sebelumnya di persamaan (4) sehingga menjadi

\(=-6x(1-x)^{\frac{1}{2}}+6(-\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}})+C\\ =-6x(1-x)^{\frac{1}{2}}-4(1-x)^{\frac{3}{2}}+C\\\)


Step 2: Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, hasil integralnya adalah 
\(-6x(1-x)^{\frac{1}{2}}-4(1-x)^{\frac{3}{2}}+C \)

Pembahasan