2 8. Lingkaran L ditransalasi oleh T1 = (3) dilanjutkan T2 = () dilanjutkan oleh translasi Tz = menghasilkan bayangan lingkaran x2 + y2 – 3x + 12 = 0 Tentukan persamaan lingkaran L! 

Pada soal kali ini kita diminta untuk menyelesaikan hasil dari persoalan translasi. Apa sih Transalasi itu? Mungkin sebagian orang masih asing dengan istilah ini. Translasi merupakan salah satu jenis dari transformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar, dan bentuknya sendiri. Terdapat 4 macam transformasi geometri, yaitu: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian). 

Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Artinya, translasi merupakan pergeseran atau perpindahan titik.
Berikut ilustrasi dari perpindahan transalasi:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-28/LessonId-460/ModuleId-2/QuestionCode-21HXPPDQILL/TRANSLASI.PNG" />

Adapun rumus translasi bisa disajikan dalam bentuk:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-28/LessonId-460/ModuleId-2/QuestionCode-21HXPPDQILL/TRANSLASI 2.PNG" />

Bentuk dari komposisi translasi terjadi jika translasi terjadi lebih dari satu kali. 
Misalkan titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $T_1= \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ menghasilkan titik $A'(x',y')$, kemudian bayangan tersebut dilanjutkan oleh translasi $T_2=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ menghasilkan titik $A''(x",y")$. Bentuk komposisi translasi tersebut membentuk persamaan sebagai berikut:
$\left(\begin{array}{c}x"\\ y"\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$
atau artinya:
$ x" = x + a +c $
$ y"=y+ b + d $

Pada kasus soal ini diketahui sebuah bayangan dari lingkaran yang sudah ditranslasikan sebanyak tiga kali dari garis awalnya. Kita diminta untuk menentukan persamaan lingkaran awal tersebut. Sehingga untuk pada penyelesaian soal ini kita akan gunakan Bab Transformasi Geometri dengan konsep Komposisi Translasi.

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini bayangan suatu lingkaran adalah:
$L’’’: x^2 + y^2 – 3x + 12 =0 $
akibat oleh $T_1=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ 
dilanjutkan translasi oleh 
$T_2=\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\1\end{array}\right)$. 
dilanjutkan translasi oleh 
$T_3=\left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\-8\end{array}\right)$. 

Kita diminta untuk mencari persamaan  awal lingkaran tersebut.

Berdasarkan rumus yang sudah disajikan dalam identifikasi konsep, dapat kita tuliskan bahwa :
$ x"’ = x + a +c + e $
$ y"’=y+ b + d + f$
Kita substitusikan nilai translasi yang sudah diketahui
$ x"’ = x + 1 + (-4) + 2$ sehingga 
$ x”’ = x - 1$
$ y"’=y+ 3 + 1 +(-8) $ sehingga 
$y"’=y-4$

Lingkaran awal bisa dicari dengan mensubstitusikan nilai $x”’$ dan $y”’$ tersebut kedalam persamaan bayangan lingkaran seperti langkah berikut:
Bayangan lingkaran: 
$L’’’: x^2 + y^2 – 3x + 12 =0 $
Atau bisa ditulis
$L’’’: (x”’)^2 + (y”’)^2 – 3(x”’) + 12 =0 $
Selanjutnya kita substitusikan nilai $x’”$ dan $y”’$
$L : (x-1)^2 + (y-4)^2 – 3(x-1) + 12 =0 $

$ L : x^2-2x+1+y^2-8y+16-3x+3+12=0 $

$ L : x^2 + y^2 – 5x – 8y + 32 =0 $


Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan awal lingkaran tersebut adalah
$ L : x^2 + y^2 – 5x – 8y + 32 =0 $


Pembahasan