2. Agar persamaan 2x3 – 11x2 – 8x + n = 0 memiliki akar kembar, maka nilai bilangan bulat n yang memenuhi adalah... a 16 b. 25 c. 80 d. 125 e. 256 

Pada soal ini diketahui suatu polinomial (suku banyak) dan kita diminta untuk mencari salah satu koefisiennya dimana diketahui memiliki akar kembar. Kita perlu menjabarkan operasi hitung dari akar-akar polinomial. Sehingga untuk penyelesaian soal ini dapat kita gunakan Bab Polinomial dengan Konsep Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial (Teorema Vieta). 

Teorema Vieta menggambarkan bagaimana jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial dapat diperoleh berdasarkan pada koefisien-koefisien dalam persamaan polinomial tersebut. Dengan Teorema Vieta ini dapat diperoleh berbagai perhitungan akar-akar suatu polinomial walaupun kita tidak mengetahui nilai dari masing-masing akarnya seperti soal ini.

Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial berderajat 3 sesuai pada soal ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
 $\color{blue} ax^3+bx^2+cx+d=0$ 
Jika akar-akarnya adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$, maka:
<ul><li>$x_1+x_2+ x_3= -\frac{b}{a}$</li><li>$x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}$</li><li>$x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}$</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui bahwa suku banyak:
$2x^3-11x^2-8x+n=0 $ yang memiliki akar kembar. Jika akarnya adalah $x_1,x_2 dan x_3$ serta ada yang kembar, maka dapat kita misalkan bahwa nilai dari
$x_1=x_2$.
Selanjutnya kita diminta untuk mencari nilai $n$.

Untuk mengerjakan soal ini kita akan menggunakan Teorema Vieta untuk polinomial berderajat 3. 
Dari $2x^3-11x^2-8x+n=0 $ dapat kita hitung jumlah dan hasil kali akar-akarnya terlebih dahulu, yaitu:
Pertama:
$x_1+x_2+ x_3= -\frac{b}{a} = -\frac{-11}{2} = \frac{11}{2}$
Karena $x_1=x_2$, maka: 
$x_1+x_2+ x_3 $
$= x_1+x_1+ x_3 $
$= 2. x_1+ x_3 $
$= \frac{11}{2}$
Sehingga, $2x_1+x_3=\frac{11}{2} $

Kedua:
$x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}= \frac{-8}{2} = -4$
Karena $x_1=x_2$, maka: 
$x_1.x_1+x_1.x_3+x_1.x_3 = -4$ 

Ketiga:
$x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}=-\frac{n}{2}$
Karena $x_1=x_2$, maka: 
$x_1.x_1.x_3 = -\frac{n}{2} $
$x_1^2.x_3 = -\frac{n}{2} $

Dari ketiga persamaan tersebut, langkah pertama adalah menentukan nilai akarnya dari persamaan pertama dan kedua.
$2x_1+x_3=\frac{11}{2} $ sehingga
$x_3=\frac{11}{2} - 2x_1 $
Selanjutnya kita substitusikan ke persamaan kedua:
$x_1.x_1+x_1.x_3+x_1.x_3 = -4$ 
$x_1^2+x_1.(\frac{11}{2} - 2x_1)+x_1.(\frac{11}{2} - 2x_1)=-4$
$x_1^2+ \frac{11}{2} x_1 - 2x_1^2+\frac{11}{2}x_1 - 2x_1^2=-4$
$-3x_1^2 + 2 \frac{11}{2} x_1 + 4 =0 $
$-3x_1^2 + 11 x_1 + 4 =0 $
(Kedua ruas dikali (-1))
$3x_1^2 - 11 x_1 - 4 =0 $
$(3x_1+1)(x_1-4)=0$
Sehingga $x_1 = 4$ atau $x_1=-\frac{1}{3}$
Kita pilih untuk bilangan bulat sehingga menghasilkan bilangan bulat n.

Untuk $x_1 = 4$, selanjutnya kita substitusi ke persamaan ketiga untuk mencari n.
$x_1^2.x_3 = -\frac{n}{2} $
$x_1^2.(\frac{11}{2} - 2x_1) = -\frac{n}{2} $
$4^2..(\frac{11}{2} - 2.4) = -\frac{n}{2} $
$16.(\frac{11}{2} - 8) = -\frac{n}{2} $
$88-128= -\frac{n}{2} $
$-80=-n$
Sehingga $n=80$

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 80.
Jawaban: C

Pembahasan