2. Diketahui vektor ū = 27 – ✓ + 4k”dan vektor ū = 37 – 41' – 12k". Proyeksi orthogonal vektor ū pada v adalah... 

Vektor merupakan suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Pada soal ini kita diminta untuk mencari proyeksi suatu vektor. Yang dimaksud dengan proyeksi dari suatu obyek adalah “bayangan” dari obyek tersebut pada bidang atau garis. Untuk mengerjakan soal ini akan gunakan Bab Vektor dengan konsep Proyeksi Skalar Orthogonal dan Proyeksi Vektor Orthogonal.

Perhatikan Gambar berikut:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-33/ChapId-12/LessonId-476/ModuleId-2/QuestionCode-21HYEO98ILS/proyeksi vektor.PNG" />

Vektor $\overrightarrow{c}$ merupakan hasil proyeksi vektor orthogonal $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$.

Proyeksi skalar orthogonal atau panjang vektor $\overrightarrow{c}$ adalah:
$|\overrightarrow{c}|=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$

Sedangkan
Proyeksi vektor orthogonal atau vektor $\overrightarrow{c}$ adalah:
$\overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}. \overrightarrow{b}$


Perlu kita ingat untuk mengerjakan konsep ini, bahwa:
Jika diketahui vektor : $\overrightarrow{a}= \left(\begin{array}{c}p\\ q \\r \end{array}\right) $
maka panjang vektor $\overrightarrow{a}$ adalah:
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{p^2+q^2+r^2} $

Kemudian:
Jika diketahui vektor : $\overrightarrow{a}= \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2 \\a_3 \end{array}\right) $
dan vektor : $\overrightarrow{b}= \left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2 \\b_3 \end{array}\right) $
maka:
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
atau 
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}| \cos \alpha $
dimana : $\alpha $ sudut yang terbentuk antara kedua vektor tersebut.

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui bahwa:
<ul><li>Vektor $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}$ atau bisa ditulis $\overrightarrow{u} = (2,-1,4)$</li><li>Vektor $\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} -4\overrightarrow{j} -12\overrightarrow{k}$ atau bisa ditulis $\overrightarrow{v} = (3,-4,-12)$</li></ul>

Kita diminta menentukan Proyeksi orthogonal vektor $\overrightarrow{u}$ pada $\overrightarrow{v}$.

Kita akan gunakan rumus pada identifikasi konsep. 
Panjang vektor $\overrightarrow{v}$ adalah:
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{3^2+(-4)^2+(-12)^2}=\sqrt{169} = 13$

Kemudian kita hitung Proyeksi orthogonal vektor $\overrightarrow{u}$ pada $\overrightarrow{v}$ dengan cara sebagai berikut:
$\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|^2}. \overrightarrow{v}$
$=\frac{(2,-1,4).(3,-4,-12)}{13^2}.(3,-4,-12)$
$=\frac{2.3+(-1).(-4)+4.(-12)}{169}.(3,-4,-12) $
$=-\frac{38}{169}.(3,-4,-12) $
$=(3(-\frac{38}{169}),-4(-\frac{38}{169}),-12(-\frac{38}{169})) $
$=\frac{1}{169} (-114, 152, 456) $
atau bisa ditulis
$\frac{1}{169} (-114\overrightarrow{i}+152\overrightarrow{j}+ 456\overrightarrow{k}) $

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, proyeksi orthogonal vektor $\overrightarrow{u}$ pada $\overrightarrow{v}$ adalah $\frac{1}{169} (-114\overrightarrow{i}+152\overrightarrow{j}+ 456\overrightarrow{k}) $

Pembahasan