21. Dalam suatu kelas terdapat 4 siswa mengikuti ekskul sepakbola, 5 siswa mengikuti ekskul basket dan 5 siswa mengikuti ekskul bola voli. Jika 3 siswa dipilih secara acak, peluang semua ketiga siswa tersebut tidak ikut ekskul basket adalah ... 

Peluang komplemen dari suatu kejadian merupakan peluang suatu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Pada soal diketahui bahwa dalam suatu kelas terdapat 4 siswa mengikuti ekskul sepak bola, 5 siswa mengikuti ekskul basket dan 5 siswa mengikuti ekskul voli. Untuk menentukan peluang terpilihnya 3 siswa yang ketiganya tidak ikut ekskul basket, kita bisa tentukan terlebih dahulu peluang yang terpilih adalah 3 siswa yang ketiganya ekskul basket. Kemudian kita bisa tentukan peluang yang ditanyakan dalam soal dengan menggunakan konsep  <b>peluang komplemen dari suatu kejadian.</b>

STEP 1 Idetifikasi Konsep

Peluang komplemen dari suatu kejadian merupakan peluang suatu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Komplemen dari kejadian \(A\) ditulis dengan \(A^{c}\). Peluang suatu kejadian dan komplemennya selalu berjumlah 1 (satu) artinya suatu kejadian bisa saja terjadi atau tidak akan terjadi. Sehingga dapat dirumuskan:
\(P(A)+P(A^{C})=1\)
atau bisa dituliskan sebagai
\(P(A^{C})=1-P(A)\)

Keterangan:
\(P(A)\) adalah peluang kejadian \(A\)
\(P(A^{C})\) adalah peluang komplemen suatu kejadian \(A\)

Sehingga pada soal, untuk menentukan peluang terpilihnya 3 siswa yang ketiganya tidak mengikuti ekskul basket, kita bisa tentukan dengan mencari peluang komplemen terpilihnya 3 siswa yang ketiganya mengikuti ekskul basket.

Terlebih dahulu kita akan tentukan keseluruhan siswa yang mengikuti ekskul sepakbola, basket dan voli dalam kelas tersebut yaitu:
\(n=4+5+5=14\) siswa

Misalkan kejadian terpilihnya 3 siswa yang ketiganya mengikuti ekskul basket adalah A dan kejadian terpilihnya 3 siswa yang ketiganya tidak mengikuti ekskul basket adalah \(A^{C}\) maka

\(P(A)=\frac{n_{A}}{n_{s}}\)

keterangan:
\(n_{A}\) adalah banyaknya kemungkinan terpilihnya 3 siswa yang ketiganya ekskul basket
\(n_{s}\) adalah banyaknya kemungkinan terpilihnya 3 siswa dari keseluruhan siswa

Sebelumnya kita akan tentukan \(n_{A}\) dan \(n_{S}\) terlebih dahulu. Untuk menentukan keduanya, kita akan gunakan konsep kombinasi. <b>Kombinasi adalah penghimpunan sekelompok unsur atau objek tanpa menghiraukan urutannya atau susunannya. </b>

Banyaknya kombinasi dari \(k\) unsur yang diambil dari \(n\) unsur yang tersedia dinotasikan dengan \(C_{k}^{n}\) yang secara umum dirumuskan sebagai berikut:

\(C_{k}^{n}=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}\)

Sehingga, untuk menentukan \(n_{s}\) yaitu banyaknya kemungkinan terpilihnya 3 siswa dari keseluruhan siswa dengan \(C_{3}^{14}\) sebagai berikut

\(C_{3}^{14}=\frac{14!}{3!\times(14-3)!}\)

\(C_{3}^{14}=\frac{14!}{3!\times11!}\)

\(C_{3}^{14}=\frac{14\times13\times12\times11!}{3!\times11!}\)

\(C_{3}^{14}=\frac{14\times13\times12}{3!}\)

\(C_{3}^{14}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}\)

\(C_{3}^{14}=\frac{14\times13\times12}{6}\)

\(C_{3}^{14}=14\times13\times2\)
\(C_{3}^{14}=364\)
Jadi kita peroleh \(n_{s}=364\)

Kemudian kita akan menentukan \(n_{A}\) yaitu banyaknya kemungkinan terpilihnya 3 siswa yang ketiganya dari ekskul basket dengan \(C_{3}^{5}\) sebagai berikut

\(C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!\times(5-3)!}\)

\(C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!\times2!}\)

\(C_{3}^{5}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2!}\)

\(C_{3}^{5}=\frac{5\times4}{2\times1}\)

\(C_{3}^{5}=\frac{20}{2}\)

\(C_{3}^{5}=10\)
Jadi kita peroleh \(n_{A}=10\)

Sehingga kita bisa tentukan peluang kejadian A yaitu peluang yang terpilih adalah 3 siswa yang ketiganya ekskul basket adalah

\(P(A)=\frac{n_{A}}{n_{s}}\)

\(P(A)=\frac{10}{364}\)

Sehingga kita peroleh peluang kejadian siswa yang terpilih adalah 3 siswa yang ketiganya tidak ekskul basket adalah
\(P(A^{C})=1-P(A)\)

\(P(A^{C})=1-\frac{10}{364}\)

\(P(A^{C})=\frac{364-20}{364}\)

\(P(A^{C})=\frac{344}{364}=\frac{86}{91}\)


STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi kita peroleh peluang kejadian terpilihnya 3 siswa yang ketiganya tidak mengiktui ekskul basket adalah \(\frac{86}{91}\)