22. Tentukan koordinat polar dari titik-titik kartesius berikut! a. (2V3,2) b. (-8,8V3) 

Sistem koordinat polar adalah suatu sistem koordinat yang menunjukkan letak suatu titik berdasarkan sudut terhadap sumbu x positif dan jarak titik pusat, dituliskan dengan \((r,\theta)\). Kita bisa mengubah suatu titik pada koordinat kartesius menjadi koordinat polarnya, dan sebaliknya. Dalam soal terdapat dua titik pada sistem koordinat kartesius yaitu:

a. \((2\sqrt{3},2)\)
b. \((-8,8\sqrt{3})\)

kita diminta untuk mengubah kedua titik pada koordinat kartesius tersebut menjadi koordinat polarnya. Untuk menyelesaikannya kita akan gunakan <b>konsep sistem koordinat kartesius dan sistem koordinat polar.</b>

STEP 1 Identifikasi Konsep

Dalam menentukan letak suatu titik terhadap sumbu kordinat, kita biasanya menggunakan sistem koordinat kartesius yang dituliskan sebagai \((x,y)\). Selain sistem koordinat kartesius, terdapat sistem koordinat lain yang dapat digunakan untuk menyatakan letak suatu titik yaitu koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan letak suatu titik berdasarkan sudut terhadap sumbu x positif dan jarak dari titik pusat, dituliskan dengan \((r,\theta)\). Kedua sistem koordinat ini memiliki suatu hubungan, sebagai berikut.

Jika \((x,y)\) adalah suatu titik pada sistem koordinat kartesius dan \((r,\theta)\) adalah koordinat polarnya, terdapat suatu hubungan yaitu:

\(x=rcos\theta\)
\(y=rsin\theta\)
dengan
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

\(tan\theta=\frac{y}{x}\) dengan \(\theta=tan^{-1}(\frac{y}{x})\)

Dengan menggunakan hubungan diatas, kita bisa mengubah suatu titik pada koordinat kartesius menjadi koordinat polarnya, dan sebaliknya.

Sehingga kita dapat mengubah titik-titik koordinat kartesius pada soal menjadi koordinat polarnya yaitu:

a. Kita ubah titik \((2\sqrt{3},2)\) menjadi koordinat polarnya sebagai berikut:
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
dari persamaan diatas kita peroleh
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
sehingga
\(r=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}\)
\(r=\sqrt{12+4}\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Kita peroleh \(r=4\), selanjutnya kita tentukan sudutnya yaitu

\(tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(tan\theta=\frac{2}{2\sqrt{3}}\)

\(tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\) (rasionalkan)

\(tan\theta=\frac{1}{3}\sqrt{3}\)

Besar \(\theta\) yang memenuhi agar nilai \(tan\theta=\frac{1}{3}\sqrt{3}\) adalah \(\theta=30^{\circ}\)
Kita peroleh koordinat polar dari titik \((2\sqrt{3},2)\) adalah \((4,30^{\circ})\)


b. Kita ubah titik \((-8,8\sqrt{3})\) menjadi koordinat polarnya sebagai berikut:
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
dari persamaan diatas kita peroleh
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
sehingga
\(r=\sqrt{(-8)^{2}+(8\sqrt{3})^{2}}\)
\(r=\sqrt{64+192}\)
\(r=\sqrt{256}\)
\(r=16\)
Kita peroleh \(r=16\), selanjutnya kita tentukan sudutnya yaitu

\(tan\theta=\frac{y}{x}\)

\(tan\theta=\frac{8\sqrt{3}}{-8}\)

\(tan\theta=-\sqrt{3}\)

Besar \(\theta\) yang memenuhi agar nilai \(tan\theta=-\sqrt{3}\) adalah \(\theta=120^{\circ}\)
Kita peroleh koordinat polar dari titik \((-8,8\sqrt{3})\) adalah \((16,120^{\circ})\)


STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi koordinat polar dari 

a. Titik \((2\sqrt{3},2)\) adalah \((4,30^{\circ})\) dan

b. titik \((-8,8\sqrt{3})\) adalah \((16,120^{\circ})\)