25 13. Tentukan asimtot mendatar dari fungsi berikut! a. f(x) = x5-x x3,2x2+x-1 b. g(x) x3-16x2+2 = 

Asimtot adalah sebuah garis yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol. Asimtot juga bisa diartikan dengan sebuah garis lurus yang sangat dekat dengan kurva lengkung di titik jauh tak terhingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring. Asimtot datar dan asimtot miring dapat dipotong kurva, namun asimtot tegak tidak dapat dipotong oleh kurva. Tidak semua fungsi memiliki asimtot, diantara fungsi yang mempunyai asimtot adalah fungsi rasional dengan penyebutnya yang bernilai nol untuk nilai tertentu. Dalam soal ditunjukkan dua buah fungsi raisonal yaitu :

a. \(f(x)=\frac{x^{5}}{x^{5}-x}\)

b. \(g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{3}-16x^{2}+2}\)

Untuk menentukan asimtot datar pada fungsi diatas, akan digunakan <b>konsep fungsi rasional dan perhitungan asimtot.</b>

STEP 1 Identifikasi Konsep

Fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk umum:

\(V(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)

dengan \(f(x)\) dan \(g(x)\) merupakan suatu polinom (suku banyak), \(g(x)\neq0\) dan juga bukan fungsi konstan.

\(y=b\) adalah asimtot datar dari suatu fungsi \(y=f(x)\) jika dipenuhi salah satu syarat dari:

1. \(lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b\)

2. \(lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=b\)

Dalam soal ditunjukkan dua buah fungsi rasional yaitu :

a. \(f(x)=\frac{x^{5}}{x^{5}-x}\)

b. \(g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{3}-16x^{2}+2}\)

Sehingga kita bisa tentukan asimtot datar dari \(f(x)\) dan \(g(x)\) sebagai berikut.

a. Asimtot datar dari \(f(x)=\frac{x^{5}}{x^{5}-x}\)

Jika asimtot datarnya adalah \(y=b\) maka terlebih dahulu akan kita tentukan nilai \( b\) yaitu

\(lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b\)

\(lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{5}}{x^{5}-x}=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{5}}{x^{5}(1-\frac{1}{x^{4}})}\)

\(=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{(1-\frac{1}{x^{4}})}\)

\(=\frac{1}{(1-0)}=\frac{1}{1}=1\)

Sehingga diperoleh \(y=1\) adalah asimtot datar dari \(f(x)\).

b. Asimtot datar dari \(g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{3}-16x^{2}+2}\)

Jika asimtot datarnya adalah \(y=b\) maka terlebih dahulu akan kita tentukan nilai \(b\)yaitu

\(lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=b\)

\(lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{3}-16x^{2}+2}=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}})}{x^{3}(1-\frac{16}{x}+\frac{2}{x^{3}})}\)

\(=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}}{1-\frac{16}{x}-\frac{2}{x^{3}}}\)

\(=\frac{1-0+0-0}{1-0+0}=\frac{1}{1}=1\)

Sehingga diperoleh \(y=1\) adalah asimtot datar dari \(g(x)\).


STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi diperoleh :

a. Asimtot datar dari \(f(x)=\frac{x^{5}}{x^{5}-x}\) adalah \(y=1\)

b. Asimtot datar \(g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{3}-16x^{2}+2}\) adalah \(y=1\)