25.Diketahui dua lingkaran yang saling berpotongan yaitu: L1 = (x – 4)2 + (y + 2)2 = 5 dan L2 = x2 + y2 – 4x – 2y – 10 = 0 Persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran tersebut dan memiliki pusat di garis 2x – 3y + 6 = 0 adalah... 

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Kita diminta untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong serta memiliki pusat disuatu garis tertentu. Dalam mengerjakan soal ini kita akan banyak membahas tentang Bab Lingkaran utamanya tentang konsep Berkas Lingkaran.

Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat melalui titik potong dua buah lingkaran.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-25/LessonId-486/ModuleId-2/QuestionCode-21GWHVIRIQT/BERKAS LINGKARAN.PNG" />
 Gambar 1. Berkas Lingkaran

Persamaan berkas lingkaran \(L_1\) dan \(L_2\) adalah:
\(L_1+λL_2=0\)

Dengan λ adalah suatu parameter.
Nilai parameter ini dapat ditentukan dari titik lain yang dilalui oleh berkas lingkaran.
	<ul><li>Jika \(λ=0\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1=0\)</li><li>	Jika \(λ=∞\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_2=0\)</li><li>	Jika \(λ=-1\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1- L_2=0\)</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yaitu:
\(L_1 ≡{(x-4)^2+(y+2)^2=5}\) atau dijabarkan menjadi \(L_1 ≡{x^2+y^2-8x+4y+15=0}\) dan 
\(L_2≡{x^2+y^2-4x-2y-10=0}\)

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut serta berpusat di garis \( 2x-3y+6=0 \), terlebih dahulu kita akan mencari rumus berkas lingkaran sebagai berikut:
\(L_1+λL_2=0\)
\((x^2+y^2-8x+4y+15)+ λ(x^2+y^2-4x-2y-10)=0\)
\((x^2+y^2-8x+4y+15)+ (λx^2+λy^2-4λx-2λy-10λ)=0\)
\((1+λ)x^2+(1+λ)y^2-((8+4λ)x+(4-2λ)y+(15-10λ)=0\)
Kedua ruas dibagi (1+λ)
\( x^2 + y^2 - \frac{(8+4λ)}{(1+λ)}.x\ + \frac{(4-2λ)}{(1+λ)}.y\ + \frac{(15-10λ)}{(1+λ)}\ =0 \)

Jika diketahui persamaan lingkaran \( L≡x^2+y^2+Ax+Bx+C=0 \), maka pusat lingkaran adalah \( (a,b)=(-\frac{1}{2}.A\, -\frac{1}{2}.B\ ) \) 

Dapat kita hitung bahwa:
 \( a=-\frac{1}{2}.A\) dan \(b=-\frac{1}{2}.B\)
\( a=-\frac{1}{2}.(- \frac{(8+4λ)}{(1+λ)})\) dan \(b=-\frac{1}{2}.(\frac{(4-2λ)}{(1+λ)})\ \)
\( a=\frac{(4+2λ)}{(1+λ)} \) dan \( b=-\frac{(2-λ)}{(1+λ)} \)

Kemudian, pusat lingkaran yang sudah kita hitung akan kita substitusikan ke garis yang dilalui pusat:
\( 2x-3y+6=0 \)
\( 2x-3y=-6 \)
\( 2. \frac{(4+2λ)}{(1+λ)} - 3.(-\frac{(2-λ)}{(1+λ)}) = -6 \)
\( 2. (4+2λ) + 3.(2-λ) = -6.(1+λ) \)
\( 14+λ = -6-6λ \)
\( 7λ=-20 \)
\(λ=-\frac{20}{7}\)

Selanjutnya kita substitusikan nilai \(λ\) ke persamaan berkas lingkaran sebagai berikut:
\((x^2+y^2-8x+4y+15)+ λ(x^2+y^2-4x-2y-10)=0\)

Untuk \(λ=-\frac{20}{7}\) , maka persamaan lingkaran yang terbentuk:
\((x^2+y^2-8x+4y+15)+ (-\frac{20}{7}).(x^2+y^2-4x-2y-10)=0\)
kedua ruas dikali 7
\((7x^2+7y^2-56x+28y+105)-(20x^2+20y^2-80x-40y-200)=0\)
\({-13x^2-13y^2+24x+68y+305=0}\)
kedua ruas dikali (-1)
\({13x^2+13y^2-24x-68y-305=0}\)

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan lingkaran yang terbentuk adalah
\(13x^2+13y^2-24x-68y-305=0\)

Pembahasan