25. Jika 10x+4 A B = + x2-x-2 X-2 x+1' nilai dari A + B adalah ... 

Dari soal kita diberikan sebuah persamaan polinomial dimana persamaan tersebut merupakan bantuk pecahan parsial, dimana pecahan parsial adalah pecahan berbentuk fungsi rasional (polinomial) yang merupakan hasil dari penguraian fungsi rasional yang lebih kompleks. Nah, pada sisi kiri pembilang untuk pecahan masih ditulis dalam bentuk variabel \(A\) dan \(B\). Kita diminta untuk mencari nilai dari \(A+B\). Untuk menyelesaikan soal tersebut kita akan menggunakan konsep Operasi Dasar pada Polinomial.

Konsep

Diketahu:
\(\frac{10x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\)
Ditanya:
Nilai \(A+B\)
Jawab:
Pecahan parsial (partial fraction) merupakan pecahan berbentuk fungsi rasional (polinomial) yang merupakan hasil dari penguraian fungsi rasional yang lebih kompleks. Teknik yang digunakan untuk menguraikan itu selanjutnya dikenal sebagai dekomposisi pecahan parsial (partial fraction decomposition). Umumnya, penyebut pada pecahan parsial akan menjadi lebih sederhana dibandingkan sebelum didekomposisikan.
Untuk menentukan konstanta pembilang pada sisi kanan, ada dua cara yang dapat kita gunakan yaitu dengan membandingkan koefisien kedua sisi dan juga dapat kita cari dengan menggunakan pembuat nol. Nah, kali ini akan kita coba kedua cara yang ada. Kemudian kalian bisa pilih cara mana yang menurut kalian lebih mudah. 

Cara I : Membandingkan Koefisien
\(\frac{10x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\)
Kita akan jabarkan terlebih dahulu bentuk yang ada di sisi kanan dengan cara menyamakan penyebutnya
\(\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)}{(x-2)(x+1)}+\frac{B(x-2)}{(x-2)(x+1)}\\\hspace{1.65cm}=\frac{Ax+A+Bx-2B}{(x-2)(x+1)}\\\hspace{1.65cm}=\frac{(A+B)x+(A-2B)}{(x-2)(x+1)}\\\hspace{1.65cm}=\frac{(A+B)x+(A-2B)}{x^2-x-2}\)
Maka kita dapat tuliskan persamaan tersebut menjadi
\(\frac{10x+4}{x^2-x-2}=\frac{(A+B)x+(A-2B)}{x^2-x-2}\)
Dengan membandingkan koefisien pada pembilang di kedua sisi diperoleh SPLDV dengan variabel \(A\) dan \(B\) sebagai berikut
\(\hspace{0.2cm}A+B=10\) 
\(A-2B=4\)
Kita selesaikan SPLDV diatas
\(\hspace{0.2cm}A+B=10\\A-2B=4\)
____________ _
\(\hspace{0.7cm}3B=6\\\hspace{0.9cm}B=\frac{6}{3}\\\hspace{0.9cm}B=2\)
Maka untuk nilai \(A\) bisa kita dapatkan dengan cara substitusi \(B=2\)
\(A+B=10\\A+(2)=10\\A=10-2\\A=8\)

Cara II : Substitusi Pembuat Nol
\(\frac{10x+4}{x^2-x-2}=\frac{(A+B)x+(A-2B)}{x^2-x-2}\)
Kita samakan penyebut untuk sisi kanan sehingga diperoleh 
\(\frac{10x+4}{x^2-x-2}=\frac{A(x+1)+B(x-2)}{x^2-x-2}\)
Karena penyebut sisi kanan dan kiri sudah sama maka kita peroleh 
\(10x+4=A(x+1)+B(x-2)\)
Substitusikan pembuat nol pada penyebut ke bagian pembilang, yaitu \(x=-1\) dan \(x=2\).
Untuk \(x=-1\) diperoleh
\(10(-1)+4=A(-1+1)+B(-1-2)\)
\(-10+4=-3B\)
\(-6=-3B\)
\(B=\frac{-6}{-3}\)
\(B=2\)
Untuk \(x=2\) diperoleh
\(10(2)+4=A(2+1)+B(2-2)\)
\(20+4=3A\)
\(24=3A\)
\(A=\frac{24}{3}\)
\(A=8\)

Walaupun kita menggunakan cara yang berbeda hasil yang diperoleh tetap sama yaitu \(A=8\) dan \(B=2\).
Maka nilai \(A+B=8+2=10\).

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi 

Jadi, nilai \(A+B\) dari persamaan tersebut adalah\(10\).