25.S(3 – 2x2). sin 4x(cos 2x + sin 2x) dx =... 

Pada soal ini konsep yang dibahas adalah Integral Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri. Pada soal ini didalamnya terdapat soal bentuk aljabar dan juga trigonometri, sehingga dapat diselesaikan dengan bentuk Integral Parsial.
 
Sebelum membahas Integral Parsial, kita harus mengetahui terlebih dahulu cara penyelesaian bentuk umum dari Integral Aljabar dan Integral Trigonometri sebagai berikut:

Bentuk Umum Integral Fungsi Aljabar
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDURO5LM/integral1.PNG" />

Bentuk Umum Integral Fungsi Trigonometri
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDURO5LM/integral2.PNG" />

Berdasarkan rumus integral fungsi trigonometri tersebut dapat dijabarkan menjadi rumus seperti dibawah ini:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDURO5LM/integral3.PNG" />

Integral Parsial merupakan metode penyelesain soal integral yang biasanya tidak dapat diselesaikan dengan Integral Substitusi. Bentuk umum penyelesaian dari Integral Parsial adalah sebagai berikut:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDURO5LM/integral4.PNG" />

Integral Parsial juga bisa dikerjakan dengan metode tanzalin, yakni dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDUNQ2SU/integral5.PNG" />

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini kita diminta untuk menghitung hasil dari:
$ \int(3-2x^2).\sin 4x (\cos 2x+\sin 2x) dx = $
 
Untuk menyelesaikannya kita akan menggunakan Integral Parsial dengan metode Tanzalin. 
Namun sebelumnya kita harus sederhanakan terlebih dahulu fungsi yang akan diintegralkan, sehingga dapat dikerjakan menggunakan rumus dasar integral yang sesuai dengan identifikasi konsep.

Perlu diingat bahwa:
<ul><li>$ \color{blue} 2 \sin \alpha \cos \beta = \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) $</li><li>$ \color{blue} -2 \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) $</li></ul>

Sehingga, bagian trigonometri soal tersebut bisa kita ubah menjadi:
$ \sin 4x (\cos 2x+\sin 2x)$
$ = \sin 4x\cos 2x+\sin 4x\sin 2x $
$ = \frac{1}{2} (\sin 6x + \sin 2x) - \frac{1}{2} (\cos 6x - \cos 2x ) $
$ = \frac{1}{2} (\sin 6x + \sin 2x - \cos 6x + \cos 2x ) $

Soal Integral bisa kita manipulasi bentuknya, sehingga:
$ \int(3-2x^2).\sin 4x (\cos 2x+\sin 2x) dx $
$ = \int(3-2x^2).\frac{1}{2}. (\sin 6x + \sin 2x - \cos 6x + \cos 2x ) dx $
$ = \frac{1}{2}.\int(3-2x^2). (\sin 6x + \sin 2x - \cos 6x + \cos 2x ) dx$

Langkah pertama pada soal ini akan kita pilih fungsi mana yang menjadi $U$ (yang bisa diturunkan sampai nol), yaitu fungsi $ (3-2x^2) $. Untuk fungsi $V$ yang akan kita integralkan sebanyak penurunan fungsi U adalah $(\sin 6x + \sin 2x - \cos 6x + \cos 2x ) $

Dengan kita menggunakan metode tanzalin pada identifikasi konsep, soal ini dapat kita hitung sebagai berikut:
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-34/LessonId-443/ModuleId-2/QuestionCode-21HKDUNQ2SU/25.PNG" />

Sehingga dapat kita rumuskan bahwa:
$\frac{1}{2}.\int(3-2x^2). (\sin 6x + \sin 2x - \cos 6x + \cos 2x ) dx$
$= \frac{1}{2}.( (3-2x^2)(-\frac{1}{6}\cos 6x - \frac{1}{2}\cos 2x -\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{2}\sin 2x)-(-4x)(-\frac{1}{36}\sin 6x - \frac{1}{4}\sin 2x +\frac{1}{36}\cos6x-\frac{1}{4}\cos 2x) + (-4)(\frac{1}{216}\cos 6x + \frac{1}{8}\cos 2x +\frac{1}{216}\sin 6x-\frac{1}{8}\sin 2x)) + C $

$= \frac{1}{2}.( (3-2x^2)(-\frac{1}{6}\cos 6x - \frac{1}{2}\cos 2x -\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{2}\sin 2x)+x(-\frac{1}{9}\sin 6x - \sin 2x +\frac{1}{9}\cos6x-\cos 2x) -(\frac{1}{54}\cos 6x + \frac{1}{2}\cos 2x +\frac{1}{54}\sin 6x-\frac{1}{2}\sin 2x)) + C $

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, hasil dari:
$ \int(3-2x^2).\sin 4x (\cos 2x+\sin 2x) dx$
$= \frac{1}{2}.( (3-2x^2)(-\frac{1}{6}\cos 6x - \frac{1}{2}\cos 2x -\frac{1}{6}\sin 6x+\frac{1}{2}\sin 2x)+x(-\frac{1}{9}\sin 6x - \sin 2x +\frac{1}{9}\cos6x-\cos 2x) -(\frac{1}{54}\cos 6x + \frac{1}{2}\cos 2x +\frac{1}{54}\sin 6x-\frac{1}{2}\sin 2x)) + C $


Pembahasan