25. Suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2) sisanya -6 dan jika dibagi oleh (x – 1) sisanya 5. Sisa pembagian suku banyak P(x) oleh (x − 2)(x - 1) adalah ... 

Pada soal di atas, diketahui sisa dari pembagian suatu suku banyak oleh 2 pembagi yang berbeda. Kemudian, dengan menggunakan modal tersebut kita diminta untuk mencari sisa atas pembagian suku banyak yang sama dengan pembagi yang baru. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan soal ini akan kita gunakan konsep <b>teorema sisa dengan pembagi</b> pada bab <b>suku banyak (polinomial)</b>.

Identifikasi Konsep

Berdasarkan identifikasi konsep, diketahui suatu suku banyak \(P(x)\) yang jika dibagi dengan \((x-2)\) bersisa \(-6\) dan jika dibagi dengan \((x-1)\) bersisa 5. Kemudian, yang ditanyakan pada soal adalah sisa pembagian antara fungsi \(P(x)\) dengan \((x-2)(x-1)\). Oleh karena itu, dalam menyelesaikan soal ini akan kita uraikan terlebih dahulu konsep pembagian untuk suku banyak, yaitu

\(fungsi\space suku\space banyak = pembagi \cdot hasil\space bagi + sisa\)

atau misalkan terdapat suku banyak \(f(x)\) yang jika kita bagi dengan \(p(x)\) akan bersisa \(s(x)\), maka

\(f(x)=p(x)\cdot h(x)+s(x)\) 

Kemudian, karena yang diketahui pada soal hanya pembagi dan sisa dari suatu pembagian suku banyak, maka disini akan kita uraikan juga konsep mengenai teorema sisa yang dapat kita gunakan yaitu:

\(\bullet Jika\space suku\space banyak\space f(x)\space dibagi\space dengan\space (x-k),\space maka\space sisanya\space adalah\space f(k)\) 
\(\bullet Jika\space suku\space banyak\space f(x)\space dibagi\space dengan\space (x-a)(x-b),\space maka\space sisanya\space adalah\space (px+q)\) 

Sehingga, dengan menggunakan konsep di atas untuk menyelesaikan pertanyaan yang diberikan pada soal dapat kita kerjakan dengan langkah sebagai berikut:

Karena yang ditanyakan adalah sisa pembagian suku banyak \(P(x)\) oleh \((x-2)(x-1)\), maka dapat kita tuliskan yaitu

\(P(x)=(x-2)(x-1)\cdot h(x)+(px+q)\)

Diketahui bahwa \(P(x)\) dibagi \((x-2)\) sisa \(-6\) dan dibagi \((x-1)\) sisa \(5\), maka

\(\bullet \space (x-2)\rightarrow P(2)=-6\)

\(P(2)=(2-2)(2-1)\cdot h(2)+(p\cdot 2+q)\)
\(-6=0\cdot 1\cdot h(2)+(2p+q)\)
\(-6=2p+q\space ...\space (1)\)

\(\bullet \space (x-1)\rightarrow P(1)=5\)

\(P(1)=(1-2)(1-1)\cdot h(1)+(p\cdot 1+q)\)
\(5=-1\cdot 0\cdot h(1)+(p+q)\)
\(5=p+q\)
\(q=5-p\space ...\space (2)\)

Berikutnya, lakukan metode subtitus persamaan \((2)\) ke persamaan \((1)\) untuk mendapatkan nilai dari \(p\) dan \(q\), yaitu

\(-6=2p+q\)
\(-6=2p+(5-p)\)
\(-6=2p+5-p\)
\(-6=p+5\)
\(p=-6-5\)
\(p=-11\)

subtitusikan \(p=-11\) ke persamaan \((2)\), maka

\(q=5-p\)
\(q=5-(-11)\)
\(q=5+11\)
\(q=16\)

Artinya dengan menggunakan \(p=-11\) dan \(q=16\) dapat kita peroleh jawaban atas pertanyaan yang ada pada soal yaitu sisa dari \(P(x)\) dibagi oleh \((x-2)(x-1)\) adalah \(px+q=-11x+16\)

Identifikasi Masalah dan Pembahasan Solusi

Jadi, jawaban atas pertanyaan yang pada soal yaitu sisa pembagian suku banyak \(P(x)\) oleh \((x-2)(x-1)\) adalah \(-11x+16\).