3 5. Diketahui cos x = - dan 200º < x < 240°, nilai 5 sin 2x + cos 2x adalah .... 17 a. d . 33 25 25 b. 18 25 e. 40 25 21 C. 25

Hai Pahamifren, kalau biasanya kita diminta untuk mencari nilai trigonometri dari sudut-sudut tertentu, maka kali ini kita diminta untuk menentukan nilai dari \(\sin{2x}+\cos{2x}\) jika diketahui \(\cos{x}=-\frac{3}{5}\) dengan \(200^\circ\leq{x}\leq{240^\circ}\). Karena yang kita miliki adalah suatu bentuk trigonometri dengan sudut \(x\) sedangkan yang akan kita cari adalah nilai trigono dari suatu sudut rangkap, mak untuk menyelesaikannya kita akan menggunakan konsep Rumus trigonometri sudut ganda.

Konsep

Diketahui:
 \(\cos{x}=-\frac{3}{5}\) dengan \(200^\circ\leq{x}\leq{240^\circ}\)
Ditanya:
\(\sin{2x}+\cos{2x}\)
Jawab:
Nilai perbandingan trigono pada masing masing kuadran
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-26/LessonId-405/ModuleId-2/QuestionCode-21IXDVU7MY5/kuadran.PNG" />

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-26/LessonId-405/ModuleId-2/QuestionCode-21IXDVU7MY5/perbandingan segitiga.PNG" />
\(\sin\alpha=\frac{depan}{miring}=\frac{a}{c}\)
\(\cos\alpha=\frac{samping}{miring}=\frac{b}{c}\)
\(\tan\alpha=\frac{depan}{samping}=\frac{a}{b}\)

Rumus Sudut Rangkap
1) \(\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\)
2) \(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\)
\(\cos{2x}=2\cos^2{x}-1\)
\(\cos{2x}=1-2\sin^2{x}\)

Perhatikan yang kita miliki adalah 
\(\cos{x}=-\frac{3}{5}\) dengan \(200^\circ\leq{x}\leq{240^\circ}\) artinya \(x\) ada di kuadran 3.

Untuk mencari \(\sin{2x}+\cos{2x}\), kita akan jabarkan dahulu bentuknya dengan rumus sudut rangkap, sehingga diperoleh 
\(\sin{2x}+\cos{2x}=2\sin{x}\cos{x}+(\cos^2{x}-\sin^2{x})\)

Maka kita harus terlebihdahulu mencari nilai \(\sin{x}\)
Dengan menggunakan perbandingan trigono pada segitiga, dan memperhatikan kuadrannya maka kita punya
\(\cos{x}=-\frac{samping}{miring}\)
\(-\frac{samping}{miring}=-\frac{3}{5}\)
sehingga kita punya sisi depan \(=3\) dan sisi miring \(=5\)

Karena \(\sin{x}\) di kuadran 3 bernilai negatif, maka
\(\sin{x}=-\frac{depan}{miring}\)

Panjang sisi depan
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-26/LessonId-405/ModuleId-2/QuestionCode-21IXDVU7MY5/Capture.PNG" />
dengan menggunakan phytagoras, maka
depan \(=\sqrt{5^2-3^2}\)
depan \(=\sqrt{25-9}\)
depan \(=\sqrt{16}\)
depan \(=4\)
Sehingga, \(\sin{x}=-\frac{4}{5}\)

\(\sin{2x}+\cos{2x}=2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}-\sin^2{x}\)
\(==2\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)^2-\left(-\frac{4}{5}\right)^2\)
\(=2\left(\frac{12}{25}\right)+\left(\frac{9}{25}\right)-\left(\frac{16}{25}\right)\)
\(=\left(\frac{24}{25}\right)+\left(\frac{9}{25}\right)-\left(\frac{16}{25}\right)\)
\(=\left(\frac{24+9-16}{25}\right)\)
\(=\left(\frac{17}{25}\right)\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai dari \(\sin{2x}+\cos{2x}\) adalah \(\left(\frac{17}{25}\right)\).