3. Diketahui fungsi distribusi peluang bersama (joint pdf) dari peubah acak X dan Y adalah: f(x,y) = (33) ху Dengan 0 < x < 3,1 <y < 4 Carilah pdf marginal dari X!

Hai Pahamifren, misalkan kita punya suatu distribusi gabungan dari variabel acak \(X\) dan \(Y\) (bisa diskrit ataupun kontinu), maka kita bisa nih menentukan distribusi untuk masing-masing variabel acaknya. Jadi kita bisa menentukan distribusi dari variabel \(X\) dan distribusi dari variabel acak \(Y\). Distribusi yang seperti ini bisa kita sebut sebagai distribusi marginal. . Nah di soal kali ini kita akan menentukan pdf marginal dari \(X\) dengan fungsi peluang bersamanya adalah \(f(x,y)=\left(\frac{4}{35}\right)xy\) dengan \(0\leq{x}\leq3\) dan \(1\leq{x}\leq4\). Perhatikan bahwa kita hanya diminta mencari pdf dari salah satu variabel acaknya saja, artinya kita akan menyelesaikan permasalahan distribusi marginal. Oleh karena itu maka konsep yang kita gunakan adalah Distribusi Marginal dan Bersyarat.

Konsep

Diketahui:
Fungsi peluang bersama \(f(x,y)=\left(\frac{4}{35}\right)xy\) 
dengan \(0\leq{x}\leq3\) dan \(1\leq{x}\leq4\)
Ditanya:
pdf marginal dari \(X\)
Jawab:
Rumus Integral Tak Tentu
\(\int_{}^{} {kx^n}dx=\frac{k}{n+1}{x^{n+1}}+C\) , dengan \(C\) adalah konstanta dan \(n≠-1\)
Nilai \(c\) dapat dicari jika titik \((x, y)\) diberikan.

Rumus Integral Tentu
Misalkan integral dari \(f(x)\) adalah \(F(x)\) maka
\(\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)\) dengan \(b>a\)

Fungsi Densitas Marginal
Jika \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak kontinu dan \(f(x,y\) merupakan nilai fungsi densitas gabungan di \((x, y)\), maka:
fungsi densitas marginal dari \(X\) adalah
\(g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy;-\infty<{x}<\infty\)
Fungsi densitas marginal dari \(Y\) adalah
\(h(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx;-\infty<{y}<\infty\)

Perhatikan
Fungsi peluang bersama \(f(x,y)=\left(\frac{4}{35}\right)xy\) 
dengan \(0\leq{x}\leq3\) dan \(1\leq{y}\leq4\)
Maka untuk fungsi densitas marginal dari \(X\) dapat kita tentukan dengan 
\(g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy\)
\(g(x)=\int_{-\infty}^{1} f(x,y)dy+\int_{1}^{4} f(x,y)dy+\int_{4}^{\infty} f(x,y)dy\)
\(g(x)=\int_{-\infty}^{1} 0dy+\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{35}\right)xydy+\int_{4}^{\infty}0dy\)
\(g(x)=\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{35}\right)xydy\)
\(g(x)=\int_1^4\left(\frac{4}{35}\right)xydy\\ g(x)=\left[\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{35}\right)xy^2\right]_1^4\\ g(x)=\left[\left(\frac{4}{70}\right)xy^2\right]_1^4\\ g(x)=\left[\left(\frac{4}{70}\right)x(4^2)\right]-\left[\left(\frac{4}{70}\right)x(1^2)\right]\\g(x)=\left[\left(\frac{4}{70}\right)x(16)\right]-\left[\left(\frac{4}{70}\right)x(1)\right]\\ g(x)=15\left(\frac{4}{70}\right)x\\ g(x)=3\left(\frac{4}{14}\right)x\)
\(g(x)=\left(\frac{12}{14}\right)x\) 
\(g(x)=\left(\frac{6}{7}\right)x\) untuk \(0<{x}<3\)
dan \(g(x)=0\) untuk \(x\) lainnya

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, pdf marginal dari \(X\) adalah 
\(\begin{cases}g(x)=\left(\frac{6}{7}\right)x& 0<{x}<3\\0 & x lain\end{cases}\)