3. Nilai k supaya nilai fungsi kuadrat f(x) = (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k + 2 selalu bernilai negatif untuk semua bilangan real x adalah ... 

Hai Pahamifren! Kalian pasti sudah tidak asing dengan suatu fungsi kuadrat. Pada soal kali ini kita akan menentukan nilai dari suatu bilangan yang tidak diketahui jika persamaan kuadrat atau kurva yang kita miliki selalu bernilai negarif untuk semua bilangan real x. Nah kalimat selalu bernilai positif atau selalu bernilai negatif merupakan sebuah definit. Artinya untuk menyelesaikan soal seperti ini maka kita akan menggunakan konsep Definit Positif dan Definit Negatif.

Konsep

Fungsi Kuadrat
\(f(x) =(k+2)x^2-(2k-1)x+k+2\)
fungsi \(f(x)\) selalu bernilai negatif untuk semua bilangan real x
Ditanya:
Nilai \(k\)
Jawab:
Definit
Fungsi kuadrat \(f(x)\) adalah suatu fungsi dengan bentuk
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
dengan \(a, b, c \) \(\in R\) dan \(a\neq0\)
Suatu fungsi kuadrat memiliki suatu komponen penting yang disebut Diskriminan (D)
\(D=b^2-4ac\)
Nilai diskriminan dari fungsi dan juga nilai \(a\) dapat menentukan posisi dari suatu fungsi kuadrat apakah selalu diatas atau selalu dibawah sumbu x untuk setiap nilai x.

Fungsi Kuadrat yang selalu bernilai positif untuk setiap nilai x bilangan real, grafiknya akan selalu berada di atas sumbu x, inilah yang disebut dengan definit positif. Definit positif dicapai saat \(a{>}0\) dan \(D{<}0\).

Fungsi Kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk setiap nilai x bilangan real, grafiknya akan selalu berada di bawah sumbu x, inilah yang disebut dengan definit negatif. Definit negatif dicapai saat \(a{<}0\) dan \(D{<}0\).

Perhatikan
\(f(x) =(k+2)x^2-(2k-1)x+k+2\) selalu bernilai negatif untuk semua bilangan real x , artinya fungsi tersebut definit negatif dan memenuhi syarat \(a{<}0\) dan \(D{<}0\). Nah perhatikan bahwa bentuk persamaan \(f(x)\) dapat diubah menjadi
\(f(x) =(k+2)x^2-(2k-1)x+k+2\)
Maka nilai \(a=(k+2), b=-(2k-1), c=k+2\) berdasarkan syarat definit positif bahwa \(a{<}0\) maka kita peroleh 
\(k+2{<}0\)
\(k{<}-2\)
Nah sekarang kita akan cari nilai k dengan syarat \(D{<}0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(D=(-(2k-1))^2-4(k+2)((k+2)\)
\(D{<}0\)
\((-(2k-1))^2-4(k+2)((k+2){<}0\)
\(4k^2-4k+1-4(k^2+4k+4){<}0\)
\(4k^2-4k+1-4k^2-16k-16{<}0\)
\(-20k-15{<}0\)
\(-20k{<}15\)
\(k{>}\frac{15}{-20}\)
\(k{>}-\frac{3}{5}\)
Nah untuk persamaankita sudah peroleh dua nilai untuk \(k\) yaitu \(k{<}-2\) dan \(k{>}-\frac{3}{5}\). Untuk nilai \(k\) yang kita ambil adalah irisan dari kedua pertidaksamaan tersebut
\((k{<}-2\cap{k{>}-\frac{3}{5}})\) adalah { } atau himpunan kosong

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai \(k\) yang membuat fungsi \(f(x)\) selalu negatif adalah { } atau dapat dikatakan tidak ada nilai \)k\) yang memenuhi.