Pada soal diberikan suatu integral tak tentu. Integral ini dapat kita selesaikan dengan Konsep Integral Tak Tentu dengan Metode Parsial.

Step 1: Identifikasi Konsep

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat diselesaikan secara langsung dengan rumus dasar 

\(\int ax^n dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, \ \ n\ne-1 \ \ ...(1)\)

Oleh karena itu, terdapat beberapa metode pengintegralan yang bisa digunakan, salah satunya adalah <b>Integral Parsial </b> yang dirumuskan sebagai berikut

\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU \ \ \ ...(2)\)

dimana kita perlu menentukan mana yang menjadi \(U\) dan \(dV\). Selain itu, kita juga perlu ingat konsep turunan dasar fungsi

\(y=ax^n \ \rightarrow \ y'=\frac{dy}{dx}=anx^{n-1} \ \ \ ...(3)\)

Kita tuliskan kembali soalnya

\(\int 27x^2\sqrt{1-3x^3}\ dx\)

Misalkan \(U=27\) dan \(dV=x^2\sqrt{1-3x^3}\ dx\), maka

\(U=27\\ dU=0 \ dx\)

\(dV=x^2\sqrt{1-3x^3}\ dx =x^2(1-3x^3)^{\frac{1}{2}}\\ V=\int x^2(1-3x^3)^{\frac{1}{2}}dx\\ \)
 untuk mencari \(V\), maka kita misalkan lagi

\(p=1-3x^3\\ dp=-9x^2dx\\ dx=-\frac{1}{9x^2}dp\)

dan kita subtitusikan untuk mencari \(V\)

\(V=\int x^2 (p)^{\frac{1}{2}}  \ (-\frac{1}{9x^2}dp)\\  V=-\frac{1}{9}\int p^{\frac{1}{2}} \ dp\\  V=-\frac{1}{9}\frac{2}{3}p^{\frac{3}{2}}\\  V=-\frac{2}{27}(1-3x^3)^{\frac{3}{2}}\)

Setelah itu, subtitusi persamaan yang telah kita dapat ke rumus Integral Parsial (2) 
\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU\\    = (27)(-\frac{2}{27}(1-3x^3)^{\frac{3}{2}})-\int -\frac{2}{27}(1-3x^3)^{\frac{3}{2}}. 0 \ dx \\   =-2(1-3x^3)^{\frac{3}{2}}+C\)


Step 2: Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, hasil integralnya adalah 
\(-2(1-3x^3)^{\frac{3}{2}}+C \)

Pembahasan