3. Tentukan persamaan garis singgung dari pangkal koordinat terhadap lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0. 

Hai Pahamifren, dari soal kali ini kita akan menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik pangkal, namun untuk dapat menentukan persamaannya kita harus mencari tahu dulu nih kedudukan titik terg=hadap lingkaran, apakah didalam, diluar atau pada lingkaran tersebut. Cara mengeceknya adalah dengan mensubstitusikan titik yang diberikan ke persamaan lingkaran. Koordinat titik pangkal adalah \((0,0)\), kita substitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh \(0^2 + 0^2 – 6(0) – 8(0) + 20 >0\) karena hasilnya \(>0\) maka titik pangkal tersebut terletak di luar lingkaran. Berdasarkan hal ini maka konsep yang kita gunakan adalah Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Konsep

Diketahui:
Persamaan lingkaran \(x^2 + y^2 – 6x – 8y + 20 = 0\)
Koordinat titik pangkal
Ditanya:
Persamaan garis singgung yang melalui titik koordinat\((0,0)\)
Jawab:
Koordinat titik pangal adalah titik dengan koordinat \((0,0)\)
Kedudukan titik \((x_1, y_1)\) terhadap lingkaran
Lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
\(\rightarrow\)titik terletak di dalam lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+Bx_1+C<0\)
\(\rightarrow\)titik terletak pada lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+Bx_1+C=0\)
\(\rightarrow\)titik terletak di luar lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+Bx_1+C>0\)

Persamaan garis singgung lingkaran di titik \(A(x_1, y_1)\) pada lingkaran
1) Lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2=r^2\)
\(\rightarrow\)\(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}=r^2\)
2) Lingkaran dengan persamaan \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
\(\rightarrow\)\((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\) 
3) Lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
\(\rightarrow\)\(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0\) 

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Diluar Lingkaran
Garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik diluar lingkaran akan menghasilkan dua garis singgung lingkaran, seperti pada gambar berikut.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-18/LessonId-480/ModuleId-2/QuestionCode-21IJFMDFJWM/pgsl.JPG" />

Dua cara untuk menentukan PGSL yang melalui titik \(A(x_1,y_1)\) yaitu:
A) Dengan menggunakan persamaan garis \(y=mx+c\) yang melalui titik \(A(x_1,y_1)\) .
Langkah -langkah:
1) Misalkan garis singgungnya adalah \(y=mx+c\).
2) Substitusi \(A(x_1,y_1)\) ke persamaan garis \(y=mx+c\), kemudian ubah persamaan yang telah diperoleh ke bentuk \(c=y_1-mx_1\). 
3) Substitusikan \(c=y_1-mx_1\) ke persamaan \(y=mx+c\).
4) Substitusikan persamaan garis baru yang diperoleh di langkah 3 ke persamaan lingkaran.
5) Tentukan nilai \(m\) dengan menggunakan nilai diskriminan, \(D=0\).
6) Setelah diperoleh nilai \(m\), substitusikan nilai \(m\) yang diperoleh ke persamaan garis di langkah 3. Garis ini adalah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik \(A(x_1,y_1)\) yang terletak di luar lingkaran.

B) Dengan menggunakan persamaan garis polar/ garis kutub
Jika dari titik \(A(x_1,y_1)\) di luar lingkaran dibuat garis singgung lingkaran, maka garis-garis tersebut akan menyinggung lingkaran di dua titik yaitu \(B(x_2,y_2)\) dan \(C(x_3,y_3)\). Persamaan garis yang melalui titik \(BC\) adalah \(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}=r^2\) atau \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\) atau \(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0\) bergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diberikan. Persamaan garis yang melaui titik \(BC\) tersebut adalah garis polar/ garis kutub).
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-18/LessonId-480/ModuleId-2/QuestionCode-21IJFMDFJWM/pgsl.JPG" />
Langkah-langkah:
1) Tentukan persamaan garis kutub yang melalui titik \(A(x_1, y_1)\) terhadap lingkaran.
2) Substitusi persamaan garis kutub yang diperoleh ke persamaan lingkaran. Kemudian akan diperoleh suatu persamaan kuadrat. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk memperoleh akar-akarnya.
3) Substitusikan nilai \(x\) atau \(y\) yang diberikan ke persamaan garis kutup sehingga diperoleh titik \(B\) dan \(C\). 
4) Tentukan persamaan garis singgung yang melalui \(B\) dan \(C\) dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.


Penyelesaian
Koordinat titik pangkal adalah \((0, 0)\)
Kita cek terlebih dahulu kedudukan titik \((0,0)\) terhadap lingkaran \(x^2 + y^2 – 6x – 8y + 20 = 0\). 
Diperoleh \(0^2 + 0^2 – 6(0) – 8(0) + 20 >0\) karena hasilnya \(>0\) maka titik pangkal tersebut terletak di luar lingkaran.
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik \((0,0)\) kita akan menggunakan metode garis kutub yang lebih ringkas.
1) Buat persamaan garis kutub dengan menggunakan titik \((0,0)\)
\(\rightarrow{0\cdot{x} +0\cdot{y}– 3(0+x) – 4(0+y) + 20 = 0}\)
\( -3x – 4y + 20 = 0\)
\( -3x + 20 =4y \)
\(y=\frac{-3x+20}{4}\)

2) Substitusi \(y=\frac{-3x+20}{4}\) ke lingkaran 
\(x^2 + (\frac{-3x+20}{4})^2 – 6x – 8(\frac{-3x+20}{4}) + 20 = 0\)
\(x^2 + (\frac{9x^2-120x+400}{16}) – 6x – 2(-3x+20) + 20 = 0\)
\(x^2 + (\frac{9x^2-120x+400}{16}) – 6x + 6x-40 + 20 = 0\)
\(x^2 + (\frac{9x^2-120x+400}{16}) -20 = 0\)
Kalikan semuanya dengan 16
\(16x^2 +9x^2-120x+400 –16\cdot20 = 0\)
\(16x^2 +9x^2-120x+400 -320 = 0\)
\(25x^2– 120x+80= 0\)
Bagi semuanya dengan 5
\(5x^2– 24x+16= 0\)
Faktorkan 
\((5x-4)(x-4)=0\)
\(x=\frac{4}{5}\) atau \(x=4\)

3) Substitusi nilai \(x\) untuk diperoleh \(y\)
Untuk \(x=\frac{4}{5}\)
\(y=\frac{-3(\frac{4}{5})+20}{4}\)
\(y=\frac{-\frac{12}{5}+\frac{100}{5}}{4}\)
\(y=\frac{\frac{88}{5}}{4}\)
\(y=\frac{22}{5}\)
Jadi titiknya adalah B \((\frac{4}{5}, \frac{22}{5})\)

Untuk \(x=4\)
\(y=\frac{-3\cdot4)+20}{4}\)
\(y=\frac{-12+20}{4}\)
\(y=\frac{8}{4}\)
\(y=2\)
Jadi titiknya adalah C \((4, 2)\)

4) PGSL yang melalui titik B dan C
Untuk B \((\frac{4}{5}, \frac{22}{5})\) PGSLnya adalah
\(\rightarrow{\frac{4}{5}\cdot{x} +\frac{22}{5}\cdot{y}– 3(\frac{4}{5}+x) – 4(\frac{22}{5}+y) + 20 = 0}\)
\(\frac{4}{5}\cdot{x} +\frac{22}{5}\cdot{y}– \frac{12}{5}-3x – \frac{88}{5}-4y + 20 = 0\)
\(\frac{4}{5}\cdot{x}-3x +\frac{22}{5}\cdot{y}-4y– \frac{100}{5}+ 20 = 0\)
\(\frac{4}{5}\cdot{x}-3x +\frac{22}{5}\cdot{y}-4y– 20+ 20 = 0\)
\(\frac{4}{5}\cdot{x}-3x +\frac{22}{5}\cdot{y}-4y= 0\) kalikan semua dengan 5
\(4x-15x +22y-20y= 0\)
\(-11x +2y= 0\)
\(11x-2y=0\)

Untuk titik C \((4, 2)\)
\(\rightarrow{4\cdot{x} +2\cdot{y}– 3(4+x) – 4(2+y) + 20 = 0}\)
\(4x+2y– 12-3x -8-4y+ 20 = 0\)
\(4x-3x+2y-4y– 12 -8+ 20 = 0\)
\(x-2y = 0\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran  \(x^2 + y^2 – 6x – 8y + 20 = 0\) yang melalui titik pangkal adalah \(11x-2y=0\) dan \(x-2y = 0\).