Persamaan Trigonometri

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini kita diminta untuk menyelesaikan hasil dari trigonometri. Trigonometri merupakan sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut dan sisi dari segitiga, contohnya seperti sinus, cosinus, dan tangen. Terdapat beberapa rumus-rumus terkait trigonometri yang saling berhubungan satu sama lainnya. Sebelum mengerjakan bentuk lebih kompleks dari rumus-rumus tersebut, tentu kita harus paham dulu terkait dasar dari trigonometri.

Dasar dari trigonometri adalah konsep kesebangunan segitiga siku-siku.
Perhatikan segitiga siku-siku berikut:

Berdasarkan letak sudutnya, sisi-sisi pada segitiga siku-siku terbagi menjadi 3, yaitu sisi depan sudut, sisi samping sudut dan sisi miring. Definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku adalah sebagai berikut:

sin θ = \frac{s i s i d e p an}{s i s imi r in g} = \frac{a}{c}

cos θ = \frac{s i s i s am p in g}{s i s imi r in g} = \frac{b}{c}

tan θ = \frac{s i s i d e p an}{s i s i s am p in g} = \frac{a}{b}

Dari rumus perbandingan tersebut bisa kita jabarkan bentuk lain,yaitu:

csc θ = \frac{1}{s i n θ} = \frac{s i s imi r in g}{s i s i d e p an} = \frac{c}{a}

sec θ = \frac{1}{c o s θ} = \frac{s i s imi r in g}{s i s i s am p in g} = \frac{c}{b}

cot θ = \frac{1}{t a n θ} = \frac{s i s i s am p in g}{s i s i d e p an} = \frac{b}{a}

Hubungan dari ketiga sisi tersebut termasuk kedalam rumus phytagoras, yaitu:
$mi^{2} = d e^{2} + s a^{2}$
Dengan:

mi :

sisi miring

d e :

sisi depan

s a :

sisi samping

Kemudian dalam menentukan nilai trigonometri, perhatikan letak dari sudut tersebut berada pada kuadran berapa.
Pada kuadran I, semua jenis trigonometri bernilai positif.
Pada kuadran II, sin dan csc bernilai positif.
Pada kuadran III, tan dan cot bernilai positif
Pada kuadran IV, cos dan sec bernilai positif.
Selain trigonometri yang bernilai positif, maka yang lainnya bernilai negatif.

Kemudian kita harus memahami rumus-rumus trigonometri. Penyelesaian soal biasanya dilakukan dengan mengkombinasikan rumus-rumus trigonometri. Untuk soal ini kita diminta untuk menentukan nilai trigonometri selisih sudut. Oleh karena itu, untuk mengerjakan soal ini kita akan menggunakan Konsep Rumus-Rumus Trigonometri

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Pada soal ini diketahui:

sin x = \frac{3}{5}

cos y = - \frac{5}{13}

Dengan

x

lancip,

y

tumpul.

Kita diminta untuk menentukan nilai dari:

sin (x - y)

.

SOLUSI

Perlu diingat rumus jumlah dan selisih sudut:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tan (a + b) = \frac{t a n a + t a n b}{1 - t a n a t a n b}

tan (a - b) = \frac{t a n a - t a n b}{1 + t a n a t a n b}

Pada soal ini diminta untuk menentukan nilai dari:

sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y

Sehingga untuk menjawab soal ini, dari persamaan yang diketahui,kita jabarkan sehingga memenuhi kebutuhan pada pertanyaan soal ini.

PERTAMA:

sin x = \frac{3}{5}

sin x = \frac{s i s i d e p an x}{s i s imi r in g} = \frac{3}{5}

Sehingga:

mi = 5

, dan

d e = 3

Dengan menggunakan phytahoras sesuai rumus pada identifikasi konsep, kita dapatkan sisi samping dengan perhitungan berikut:
Sisi samping

x = (mi)^{2} - (d e)^{2}

Sisi samping

x = 5^{2} - 3^{2}

Sisi samping

x = 25 - 9

Sisi samping

x = 16

Sisi samping

x = 4

x

lancip, sehingga berada dikuadran I, artinya semua trigonometrinya positif.
Nilai dari:

cos x = \frac{s i s i s am p in gx}{s i s imi r in g} = \frac{4}{5}

KEDUA:

cos y = - \frac{5}{13}

cos y = \frac{s i s i s am p in g y}{s i s imi r in g} = - \frac{5}{13}

Sehingga:

mi = 13

, dan

s a = 5

Dengan menggunakan phytahoras sesuai rumus pada identifikasi konsep, kita dapatkan sisi depan dengan perhitungan berikut:
Sisi depan

y = (mi)^{2} - (s a)^{2}

Sisi depan

y = 1 3^{2} - 5^{2}

Sisi depan

y = 169 - 25

Sisi depan

y = 144

Sisi depan

y = 12

y

tumpul, sehingga berada dikuadran II, artinya hanya

s in

dan

csc

yang nilai trigonometrinya positif.
Nilai dari:

sin y = \frac{s i s i d e p an y}{s i s imi r in g} = \frac{12}{13}

Sehingga:

sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y

sin (x - y) = \frac{3}{5} . (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} . \frac{12}{13}

sin (x - y) = \frac{- 15}{65} - \frac{48}{65}

sin (x - y) = - \frac{63}{65}

Step 3. Kesimpulan

Jadi, nilai dari

sin (x - y)

adalah

- \frac{63}{65}

JAWABAN: -

Pembahasan Persamaan Trigonometri

<b> Step 1. Identifikasi Konsep <b>

<b> Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi <b>

<b> Step 3. Kesimpulan <b>