4. Perbandingan jarak rata-rata planet A dan B ke matahari adalah 4 : 1. Jika periode planet B = 25 hari, periode planet A adalah.... 


Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa menggunakan hukum III Keppler yang menyatakan bahwa kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet dengan matahari. Adapun hukum III Keppler ini sebenarnya juga diperoleh dari penurunan hukum gerak Newton dan Hukum Gravitasi Universal, lebih detail cek pembahasan. 


Identifikasi Konsep


Untuk membuktikan Hukum III Kepler, kita akan menganggap lintasan planet berbentuk lingkaran bukan elips. Hal ini tidak terlalu memengaruhi hasil yang didapat nanti karena lintasan elips planet mendekati bentuk lingkaran. Pada benda yang bergerak melingkar, ada gaya yang membuat benda tetap bergerak pada lintasannya yang berbentuk lingkaran, yang disebut gaya sentripetal. Gaya sentripetal tersebut selalu berarah ke pusat lingkaran, dalam hal ini ke arah matahari. 
 
Gaya sentripetal tersebut sebenarnya adalah gaya gravitasi matahari pada planet yang mengelilinginya (sebagai contoh bumi). Sehingga bisa dituliskan:
	\[\begin{array}{l}\sum {{F_s} = m\dfrac{{{v^2}}}{R}} \\{F_g} = m\dfrac{{{v^2}}}{R}\\G\dfrac{{M.m}}{{{R^2}}} = m\dfrac{{{{\left( {\omega R} \right)}^2}}}{R}\\G\dfrac{M}{R} = {\omega ^2}{R^2}\\G\dfrac{M}{R} = {\left( {\dfrac{{2\pi }}{T}} \right)^2}{R^2}\\GM = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}.{R^3}\\\dfrac{{{T^2}}}{{{R^3}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{GM}}\end{array}\]

Dimana:
\({F_s}\)= gaya sentripetal
\({F_g}\)= gaya tarik garvitasi matahari pada planet
R = jarak planet dengan matahari
M = massa matahari
m = massa planet
T = periode planet mengitari matahari
ω =kecepatan sudut planet
v = kecepatan planet mengitari matahari
G = konstanta gaya gravitasi

Karena nilai, G, M dan \(4{\pi ^2}\) tetap, maka persamaan bisa disederhanakan menjadi:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{T^2}}}{{{R^3}}} = {\rm{konstan}}\\\dfrac{{{T_1}^2}}{{{R_1}^3}} = \dfrac{{{T_2}^2}}{{{R_2}^3}}\end{array}\]

Diketahui:
\(\begin{array}{l}{R_A}:{R_B} = 4:1\\{T_B} = 25\,{\rm{hari}}\end{array}\)

Periode planet A sebesar:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{T_A}^2}}{{{R_A}^3}} = \dfrac{{{T_B}^2}}{{{R_B}^3}}\\{T_A}^2 = \dfrac{{{T_B}^2.{R_A}^3}}{{{R_B}^3}}\\{T_A}^2 = \dfrac{{{{25}^2}{{.4}^3}}}{{{1^3}}}\\{T_A} = \sqrt {\dfrac{{{{25}^2}{{.4}^3}}}{{{1^3}}}} \\{T_A} = \sqrt {\dfrac{{{{25}^2}.{{\left( {{2^2}} \right)}^3}}}{{{1^3}}}} \\{T_A} = {25.2^3}\\{T_A} = 25.8\\{T_A} = 200\,{\rm{hari}}\end{array}\]


Pembahasan