4. Tentukan hasil integral berikut | 8 sin 5x cos 3x dx = 

Hai Pahamifren, kali ini kita akan menyelesaikan soal tentang integral, nah disini integral yang kita miliki adalah integral suatu fungsi trigono perkalian, nah integral yang kita punya juga merupakan integral tak tentu, jadi untuk penyelesaiannya kita akan menggunakan konsep Integral Tentu dan Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Konsep

Diketahui:
\(\int8\sin{5x}\cos{3x}dx\)
Ditanya:
Hasil dari integral tersebut
Jawab:
Bentuk fungsi trigono yang kita punya tidak dapat langsung kita integralkan oleh karenanya kita akan ubah persamaan yang kita punya dengan rumus rumus trigometri yang ada. Rumus trigonometri yang akan kita gunakan adalah 
\(2\sin{A}\cos{B}=\sin(A+B)+sin(A-B)\)
Kemudian rumus-rumus integral yang kita gunakan adalah 
Rumus Integral Tak Tentu
\(\int_{}^{} {\sin{(ax)}}dx=-\frac{1}{a}{\cos{(ax)}}+c\) , dengan \(c\) adalah konstanta.
\(\int_{}^{} {\cos{(ax)}}dx=\frac{1}{a}{\sin{(ax)}}+c\) , dengan \(c\) adalah konstanta.

Integral pada fungsi lebih dari satu suku
\(\int_{}^{}{(f(x)\pm{g(x)})} dx =\int_{}^{}{f(x)} dx\pm\int_{}^{}{g(x)} dx\)

Perhatikan
\(\int8\sin{5x}\cos{3x}dx\)
Kita ubah terlebih dahulu fungsi yang kita punya
\(8\sin{5x}cos{3x}=4\cdot{2\sin{5x}cos{3x}}\)
\(=4(\sin(5x+3x)+\sin(5x-3x))\)
\(=4\sin8x+4\sin2x\)
Sehingga kita punya
\(\int8\sin{5x}\cos{3x}dx\)
\(=\int(4\sin8x+4\sin2x)dx\)
\(=\int4\sin8x+\int4\sin2x)dx\)
\(=-\frac{4}{8}\cos8x-\frac{4}{2}\cos2x+c\)
\(=-\frac{1}{2}\cos8x-2\cos2x+c\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, hasil dari \(\int8\sin{5x}\cos{3x}dx\) adalah \(-\frac{1}{2}\cos8x-2\cos2x+c\)