4. Tentukan persamaan garis polar pada lingkaran x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 dari titik (4,0). 

Hai Pahamifren, dari soal kali ini kita akan menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik pangkal, namun untuk dapat menentukan persamaannya kita harus mencari tahu dulu nih kedudukan titik terhadap lingkaran, apakah didalam, diluar atau pada lingkaran tersebut. Cara mengeceknya adalah dengan mensubstitusikan titik yang diberikan ke persamaan lingkaran. Garis yang ditarik dari luar lingkaran akan membentuk dua garis singgung yang artinya akan ada dua titik singgung pada lingkaran, nah garis yang menghubungkan dua titik singgung ini disebut sebagai garis kutub / garis polar. Berdasarkan hal ini maka konsep yang kita gunakan adalah Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Konsep 

Diketahui:
Lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0\)
Titik \((4, 0)\)
Ditanya:
Persamaan Garis polar
Jawab:
Kedudukan titik \((x_1, y_1)\) terhadap lingkaran
 Lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
\(\rightarrow\)titik terletak di dalam lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C<0\)
\(\rightarrow\)titik terletak pada lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C=0\)
\(\rightarrow\)titik terletak di luar lingkaran jika 
\(x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C>0\)

Jika dari titik \(A(x_1,y_1)\) di luar lingkaran dibuat garis singgung lingkaran, maka garis-garis tersebut akan menyinggung lingkaran di dua titik yaitu \(B(x_2,y_2)\) dan \(C(x_3,y_3)\). Persamaan garis yang melalui titik \(BC\) adalah \(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}=r^2\) atau \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\) atau \(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0\) bergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diberikan. Persamaan garis yang melaui titik \(BC\) tersebut adalah garis polar/ garis kutub).
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-18/LessonId-480/ModuleId-2/QuestionCode-21IJFMDFJWM/pgsl.JPG" />

Perhatikan
Lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0\)
Titik \((4, 0)\)

Cek kedudukan titik terhadap lingkaran
\(4^2 + 0^2 + 4(4) - 6(0) - 12 \)
\(=16+0+16-0-12\)
\(=20>0\)
Artinya titik \((4, 0)\) terletak di luar lingkaran

Persamaan garis polar
Jika dari titik \(A(x_1,y_1)\) di luar maka peramaan garis polarnya adalah \(x_1\cdot{x}+y_1\cdot{y}+\frac{A}{2}(x_1+x)+\frac{B}{2}(y_1+y)=0\).
Lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0\)
Titik \((4, 0)\) di luar lingkaran
 \(\rightarrow{4x + 0y + 2(x+4) - 3(y+0) - 12 = 0}\)
\({4x +2x+8 -3y - 12 = 0}\)
\({6x -3y - 12 +8= 0}\)
\({6x -3y - 4= 0}\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan garis polar nya adalah \({6x -3y - 4= 0}\).