4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran L1 = x2 + y2 + 4x + 8y = 16 dan L2 = x2 + y2 – 3x – 4y – 47 = 0 serta melalui titik (3,3). 

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yang saling berpotongan. Kita diminta untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong serta melalui titik lain. Dalam mengerjakan soal ini kita akan banyak membahas tentang Bab Lingkaran utamanya tentang konsep Berkas Lingkaran.

Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat melalui titik potong dua buah lingkaran.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-34/ChapId-25/LessonId-486/ModuleId-2/QuestionCode-21GWHVIRIQT/BERKAS LINGKARAN.PNG" />
 Gambar 1. Berkas Lingkaran

Persamaan berkas lingkaran \(L_1\) dan \(L_2\) adalah:
\(L_1+λL_2=0\)

Dengan λ adalah suatu parameter.
Nilai parameter ini dapat ditentukan dari titik lain yang dilalui oleh berkas lingkaran.
	<ul><li>Jika \(λ=0\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1=0\)</li><li>	Jika \(λ=∞\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_2=0\)</li><li>	Jika \(λ=-1\) maka berkas lingkarannya adalah \(L_1- L_2=0\)</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui dua buah lingkaran yaitu:
\(L_1 ≡{x^2+y^2+4x+8y=16}\) atau bentuk lainnya adalah \(L_1 ≡{x^2+y^2+4x+8y-16=0}\) dan 
\(L_2≡{x^2+y^2-3x-4y-47=0}\)

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut serta melalui titik \((3,3)\), kita akan substitusikan kedalam rumus berkas lingkaran sebagai berikut:
\(L_1+λL_2=0\)
(\({x^2+y^2+4x+8y-16})+ λ({x^2+y^2-3x-4y-47})=0\)

Selanjutnya kita substitusi \((3,3)\) ke persamaan tersebut untuk mencari nilai \(λ\).
(\({3^2+3^2+4.3+8.3-16})+ λ({3^2+3^2-3.3-4.3-47})=0\)
\(38-λ.50=0\)
\(-50λ=-38\)
\(λ=\frac{38}{50}\)
\(λ=\frac{19}{25}\)

Selanjutnya kita substitusikan nilai \(λ\) ke persamaan berkas lingkaran, sehingga membentuk persamaan sebagai berikut:
(\({x^2+y^2+4x+8y-16})+ λ({x^2+y^2-3x-4y-47})=0\)

Untuk \(λ=\frac{19}{25}\) , maka persamaan lingkaran yang terbentuk:
(\({x^2+y^2+4x+8y-16})+ (\frac{19}{25})({x^2+y^2-3x-4y-47})=0\)
kedua ruas dikali 25
(\({25x^2+25y^2+100x+200y-400})+({19x^2+19y^2-57x-76y-893})=0\)
\({44x^2+44y^2+43x+124y-1293=0}\)

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan lingkaran yang terbentuk adalah
\(L≡{44x^2+44y^2+43x+124y-1293=0}\)

Pembahasan