5. Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu paling sedikit terdapat 2 pria, maka banyaknya cara membentuk kelompok kerja adalah .... a. 442 d. 462 b. 448 e. 468 C. 456 (UMPTN Matematika Dasar Tahun 2001) 

Hai Pahamifren kalian pasti pernah kan diminta untuk membentuk suatu kelompok dengan ketentuan tertentu, nah kira-kira pernahkah kalian menghibung berapa banyak kemungkinan kelompok yang apat dibentuk? Sama hal nya dengan soal yang kita punya disini kita akan mencari banyaknya cara membentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang, dengan paling sedikit 2 pria, untuk memilih anggota tanpa adanya jabatan maka kita akan menggunakan kombinasi. Berdasarkan analisis ini maka konsep yang kita gunakan adalah Kombinasi.

Konsep

Diketahui:
Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu paling sedikit terdapat 2 pria.
Ditanya: 
Banyaknya cara membentuk kelompok kerja
Jawab:
Faktorial
Faktorial bilangan asli \(n\) adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan \(n\). Faktorial dilambangkan dengan tanda "!", \(n\) faktorial dapat dituliskan sebagai 
\(n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot.....\cdot2\cdot1\)

Kombinasi
Lambang notasi dari kombinasi adalah \(C\). Rumus kombinasi \(r\) objek dari \(n\) objek dapat dituliskan sebagai berikut
\(C(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}\), dengan \(n\geq{r}\)
Dengan 
\(C(n, r)\) : kombinasi \(r\) objek dari \(n\) objek yang ada
\(n\) : banyaknya objek keseluruhan
\(r\) : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan atau akan disusun

Perhatikan
Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu paling sedikit terdapat 2 pria.
Banyak kemungkinan yang mungkin untuk kelompok beranggotakan 4 orang dengan paling sedikit 2 pria adalah kelompok dengan 2 pria dan 2 wanita, 3 pria dan 1 wanita atau 4 pria. Artinya kita akan menghitung masing masing kemungkinan tersebut

1) Kelompok dengan 2 pria dan 2 wanita
Untuk menentukan banyak kemungkinan susunannya maka kita akan mengambil 2 orang pria dari 8 pria yang ada, dan 2 wanita dari 4 wanita yang ada. Untuk mengambil kita akan menggunakan kombinasi, dan karena kata hubungnya adalah "dan" (2 pria dan 2 wanita) maka kita akan kalikan keduanya
Mengambil 2 orang pria dari 8 pria \(\rightarrow{C(8, 2)}\)
\(C(8, 2)=\frac{8!}{(8-2)!2!}\)
\(=\frac{8!}{(8-2)!2!}\)
\(=\frac{8!}{(6)!2!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot2!}\)
\(=\frac{8\cdot7}{2!}\)
\(=\frac{8\cdot7}{2}\)
\(=4\cdot7\)
\(=28\)
Mengambil 2 orang wanita dari 4 wanita \(\rightarrow{C(4, 2)}\)
\(C(4, 2)=\frac{4!}{(4-2)!2!}\)
\(=\frac{4!}{(4-2)!2!}\)
\(=\frac{4!}{(2)!2!}\)
\(=\frac{4\cdot3\cdot2!}{2!\cdot2!}\)
\(=\frac{4\cdot3}{2!}\)
\(=2\cdot3\)
\(=6\)
Sehingga, banyak susunan kelompok dengan 2 pria dan 2 wanita adalah 
\(C(8, 2)\times{C(4, 2)}=28\times6=168\)

2) Kelompok dengan 3 pria dan 1 wanita
Untuk menentukan banyak kemungkinan susunannya maka kita akan mengambil 3 orang pria dari 8 pria yang ada, dan 1 wanita dari 4 wanita yang ada. Untuk mengambil kita akan menggunakan kombinasi, dan karena kata hubungnya adalah "dan" (3 pria dan 1 wanita) maka kita akan kalikan keduanya
Mengambil 3 orang pria dari 8 pria \(\rightarrow{C(8, 3)}\)
\(C(8, 3)=\frac{8!}{(8-3)!3!}\)
\(=\frac{8!}{(8-3)!3!}\)
\(=\frac{8!}{(5)!3!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot\cdot2\cdot1}\)
\(=8\cdot7\)
\(=56\)
Mengambil 1 orang wanita dari 4 wanita \(\rightarrow{C(4, 1)}\)
\(C(4, 1)=\frac{4!}{(4-1)!1!}\)
\(=\frac{4!}{(3)!1!}\)
\(=\frac{4\cdot3!}{3!}\)
\(=4\)
Sehingga, banyak susunan kelompok dengan 3 pria dan 1 wanita adalah 
\(C(8, 3)\times{C(4, 1)}=56\times4=224\)

3) Kelompok dengan 4 pria 
Untuk menentukan banyak kemungkinan susunannya maka kita akan mengambil 4 orang pria dari 8 pria yang ada, dan 0 wanita dari 4 wanita yang ada. Untuk mengambil kita akan menggunakan kombinasi, dan karena kata hubungnya adalah "dan" (4 pria dan 0 wanita) maka kita akan kalikan keduanya
Mengambil 4 orang pria dari 8 pria \(\rightarrow{C(8, 4)}\)
\(C(8, 4)=\frac{8!}{(8-4)!4!}\)
\(=\frac{8!}{(4)!4!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!4!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4!}\)
\(=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\)
\(=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot1}\)
\(=7\cdot2\cdot5\)
\(=70\)
Mengambil 0 orang wanita dari 4 wanita \(\rightarrow{C(4, 1)}\)
\(C(4, 0)=\frac{4!}{(4-0)!0!}\)
\(=\frac{4!}{4!\cdot1}\)
\(=1\)
Sehingga, banyak susunan kelompok dengan 3 pria dan 1 wanita adalah 
\(C(8, 4)\times{C(4, 10)}=70\times1=70\)

Banyak kemungkinan yang mungkin untuk kelompok beranggotakan 4 orang dengan paling sedikit 2 pria
\(C(8, 2)\times{C(4, 2)}+C(8, 3)\times{C(4, 1)}+C(8, 4)\times{C(4, 0)}=168+224+70=462\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, banyak kemungkinan yang mungkin untuk kelompok beranggotakan 4 orang dengan paling sedikit 2 pria adalah 462. 