5. Gradien garis singgung di titik (x, y) yang terletak pada sebuah kurva dy adalah 6x2 - 6x. Jika kurva itu = dx melalui titik (1.6) maka, tentukan persamaan kurva tersebut! 

Hai Pahamifren! Kalian tentu tau apa itu garis singgung kan? Nah kalau hubungan antara kurva dan gradien dari garis singgung kurva? Jadi gradien suatu garis singgung kurva di titik singgungnya merupakan turunan pertama kurva tersebut di titik singgungnya. Nah kalau kita diberikan persamaan gradien dari garis singgung kurvanya dan juga titik singgungnya dapatkah kita mencari persamaan kurvanya? Untuk mencari persamaan kurvanya kita akan menggunakan Konsep Dasar Integral Tentu

Konsep

Diketahui:
Persamaan gradien garis singgung dari suatu kurva di titik \((1, 6)\) adalah \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=6x^2-6x\)
Ditanya:
Persamaan kurva tersebut
Jawab:
Rumus Integral Tak Tentu
\(\int_{}^{} {kx^n}dx=\frac{k}{n+1}{x^{n+1}}+c\) , dengan \(c\) adalah konstanta dan \(n≠-1\)

Integral pada fungsi lebih dari satu suku
\(\int_{}^{}{(f(x)\pm{g(x)})} dx =\int_{}^{}{f(x)} dx\pm\int_{}^{}{g(x)} dx\)

Rumus Integral Tentu
Misalkan integral dari \(f(x)\) adalah \(F(x)\) maka 
\(\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)\)

Persamaan kurva yang diketahui gradiennya
Persamaan suatu kurva yang melalui titik \(x_1, y_1\) dan memiliki persamaan gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f'(x)\) adalah 
\(\int_{}^{} {f'(x)}dx=f(x)+c\) 
Nilai \(c\) dapat dicari dengan menggunakan titik yang melalui kurva. 

Perhatikan
Gradien kurva \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=6x^2-6x\).
Titik yang melalui kurva, \((1, 6)\).
Artinya \(f'(x)=6x^2-6x\)
Persamaan kurva dengan gradien \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=6x^2-6x\)
\(\int(6x^2-6x)dx=\frac{6}{2+1}x^{2+1}-\frac{6}{1+1}x^{1+1}+c\\ =\frac{6}{3}x^{3}-\frac{6}{2}x^{2}+c\\ =2x^{3}-3x^{2}+c\)

Persamaan kurva yang melalui titik \((1, 6)\).
Substitusikan titik tersebut ke persamaan \(y=2x^{3}-3x^{2}+c\) untuk memperoleh nilai \(c\).
\(6=2(1)^{3}-3(1)^{2}+c\)
\(6=2-3+c\)
\(6=-1+c\)
\(6+1=c\)
\(c=7\)
Jadi persamaan kurvanya adalah \(y=2x^{3}-3x^{2}+7\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah \(y=2x^{3}-3x^{2}+7\).