Pada soal diberikan suatu integral tak tentu. Integral ini dapat kita selesaikan dengan Konsep Integral Tak Tentu dengan Metode Parsial.

Step 1: Identifikasi Konsep

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat diselesaikan secara langsung dengan rumus dasar 

\(\int ax^n dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, \ \ n\ne-1 \ \ ...(1)\)

Oleh karena itu, terdapat beberapa metode pengintegralan yang bisa digunakan, salah satunya adalah <b>Integral Parsial </b> yang dirumuskan sebagai berikut

\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU \ \ \ ...(2)\)

dimana kita perlu menentukan mana yang menjadi \(U\) dan \(dV\). Selain itu, kita juga perlu ingat konsep turunan dasar fungsi

\(y=ax^n \ \rightarrow \ y'=\frac{dy}{dx}=anx^{n-1} \ \ \ ...(3)\)

Kita tuliskan kembali soalnya

\(\int x\sqrt{x+5} \ dx\)

Misalkan \(U=x\) dan \(dV=\sqrt{x+5} \ dx\), maka

\(U=x\\ dU=dx\)

\(dV=\sqrt{x+5} \ dx=(x+5)^{\frac{1}{2}} \ dx\\   V=\int (x+5)^{\frac{1}{2}} dx\\\)
 untuk mencari \(V\), maka kita misalkan lagi

\(p=x+5\\ dp=dx\)

dan kita subtitusikan untuk mencari \(V\)

\(V=\int p^{\frac{1}{2}}  \ dp\\  V=\frac{2}{3}p^{\frac{3}{2}}\\  V=\frac{2}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}} \ \ \ ...(4)\)

Setelah itu, subtitusi persamaan yang telah kita dapat ke rumus Integral Parsial (2) 
\(\int U \ dV = UV - \int V \ dU\\   = (x)(\frac{2}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}})-\int \frac{2}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}} \ dx \\   =\frac{2}{3}x(x+5)^{\frac{3}{2}}-\int \frac{2}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}} \ dx \)

dimana integral tersebut bisa kita hitung dengan cara yang sama seperti kita mencari \(V\) sebelumnya di persamaan (4) sehingga menjadi

\(=\frac{2}{3}x(x+5)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(\frac{2}{5}(x+5)^{\frac{5}{2}})+C\\  =\frac{2}{3}x(x+5)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(x+5)^{\frac{5}{2}}+C\\ \)


Step 2: Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, hasil integralnya adalah 
\(\frac{2}{3}x(x+5)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(x+5)^{\frac{5}{2}}+C\)

Pembahasan