5. Satu keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan empat orang anak makan bersama. Mereka duduk melingkari sebuah meja bundar. Peluang bahwa Ayah dan Ibu tidak duduk berdekatan adalah ... 

Pada soal diberikan suatu permasalahan dimana sebuah keluarga yaitu ayah, ibu dengan 4 orang anak yang akan duduk secra melingkar. kita diminta untuk menghitung peluang bahwa ayah dan ibu tidak duduk berdekatan. perhatikan bahwa jika kita menghitung satu per satu kemungkinan yang terjadi saat ayah dan ibu duduk tidak berdekatan akan sangat banyak, maka kita dapat menggunakan komplemen dari ayah dan ibu tidak duduk berdekatan yaitu kita hanya perlu mencari peluang dari ayah dan ibu duduk berdekatan. Berdasarkan analisa soal ini maka konsep yang kita gunakan adalah Komplemen Suatu Kejadian

Konsep

Diketahui:
Sebauh keluarga beranggotakan ayah, ibu dan empat anaknya akan duduk melingkar.
Ditanya: 
Peluang bahwa ibu dan ayah tidak duduk berdekatan.
jawab:
Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan salah satu permutasi yang berhubungan dengan penyusunan suatu elemen secara melingkar. Permutasi untuk n unsur secara melingakar dirumuskan sebagai (n-1)!Peluang
Peluang merupakan perbandingan atara banyaknya kejadian tertentu dengan banyaknya kejadian secara keseluruhan. Nilai suatu peluang berkisar antara 0 sampai dengan 1.
Rumus peluang \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A)\) = peluang A
\(n(A)\) = banyaknya kejadian A
\(n(S)\) = banyaknya ruang sample

Komplemen suatu kejadian
Komplemen suatu kejadian A merupakan semua kejadian yang bukan A.
Jumlah dari peluang sebuah kejadian \(P(A)\) dengan komplemennya \(P(A^c)\) selalu 1. \(P(A)+P(A^c)=1\)

Perhatikan
Satu keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu dan empat anak duduk secara melingkar, artinya untuk ruang sample dari kejadian adalah permutasi siklis dari 6 unsur. sehingga diperoleh \(n(S)=(6-1)!\)
\(n(S)=5!\)
\(=5\times4\times3\times2\times1\)
\(=120\)

Untuk menghitung peluang jika ayah dan ibu tidak duduk berdekatan \(P(A)\) maka kita akan mencari komplemen dari kejadian tersebut, yaitu peluang jika ayah dan ibu duduk berdekatan \(P(A^c)\). \(P(A)=1-P(A^c)\)

Untuk mencari banyak kejadian ayah dan ibu duduk berdekatan maka kita anggap ayah dan ibu merupakan satu pasang, sehingga yang dapat duduk melingkar hanya empat anak dan 1 pasang (permutasi siklis 5 unsur) yang didalamnya terdapat ayah dan ibu, namun perhatikan bahwa posisi duduk ayah dan ibu bisa jadi AyahIbu atau IbuAyah (dua faktorial).Sehingga \(n(A^c)=(5-1)!\times2!\)
\(=(4)!\times2!\)
\(=24\times2\)
\(=48\)

\(P(A^c)=\frac{n(A^c)}{n(S)}\)
\(=\frac{48}{120}\)
\(=\frac{2}{5}\)

Peluang ayah dan ibu tidak berdekatan 
 \(P(A)=1-\frac{2}{5}\)
 \(P(A)=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}\)
 \(P(A)=\frac{3}{5}\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, peluang bahwa Ayah dan Ibu tidak duduk berdekatan adalah \(\frac{3}{5}\)