5. Titik minimum dari fungsi f(x) = 2 cos? (2x – 30°) adalah... A. (15°, -2) D. (60°,0) B. (30°, -2) E. (75°,0) C. (45°, -2) 

Sebagaimana fungsi aljabar, trigonometri juga dapat dinyatakan sebagai fungsi. Fungsi trigonometri bersifat periodik atau berulang secara berkala. Terdapat beberapa sifat yang biasanya dibahas seperti periode, amplitudo, nilai maksimum dan nilai minimum. Di soal ini kita diminta untuk titik minimum dari fungsi trigonometri, berarti kita butuh nilai minimum \((y)\) dan penyebab minimumnya \((x)\). Yuk kita bahas!

Step 1: Identifikasi Konsep

Bentuk umum dari fungsi trigonometri sinus dan cosinus adalah

\(\begin{aligned} f(x)=a \sin{b(x\pm c)}\pm d \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} f(x)=a \cos{b(x\pm c)}\pm d \end{aligned}\)

dengan 
Amplitudo \(=|a|\) dan 
Periode \(\begin{aligned}=\frac{360^o}{b}\end{aligned}\). 

Ingat bahwa interval nilai trigonometri untuk sinus dan cosinus adalah \(-1\leq \cos{x} \leq 1\) dan \(-1\leq \sin{x} \leq 1\). Interval ini akan membantu kita untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi trigonometri. 

Diberikan fungsi trigonometri \(f(x)= 2\cos^2{(2x-30^o)}\). Kita perlu mencari titik minimum dari fungsi tersebut. Kita tahu bahwa nilai cosinus berada pada interval \(-1\leq \cos{(2x-30^o)} \leq 1\). Perhatikan bahwa fungsi cosinusnya kuadrat, dimana nilainya pasti lebih besar sama dengan nol. Sehingga dapat kita nyatakan bahwa interval fungsi trigonometri tersebut adalah
\(0\leq \cos^2{(2x-30^o)}\leq 1\)
Kita substitusi nilai ekstrim ke fungsi
<ul><li>Untuk \(\cos^2{(2x-30^o)}=0\\ f(x)=2(0)=0\) (nilai minimum)</li><li>Untuk \(\cos^2{(2x-30^o)}=1\\ f(x)=2(1)=2\) (nilai maksimum)</li></ul>
Maka kita akan mendapatkan nilai minimum saat \(\cos^2{(2x-30^o)}=0\).

Karena yang diminta adalah titik, maka kita juga harus mencari nilai \(x\) yang menyebabkan fungsi tersebut minimum. Kita selesaikan dengan persamaan trigonometri
\(\begin{aligned}\cos^2{(2x-30^o)}&=0\\ \cos{(2x-30^o)}&=0=\cos {90^o}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}2x-30^o&=90^o+k\cdot 360^o\\ 2x&=120^o+k\cdot 360^o\\ x&=60^o+k\cdot 180^o \ \ \ ...(1)\end{aligned}\)
atau
\(\begin{aligned}2x-30^o&=-90^o+k\cdot 360^o\\ 2x&=-60^o+k\cdot 360^o\\ x&=-30^o+k\cdot 180^o \ \ \ ...(2)\end{aligned}\)

Untuk \(k=0\)
\(\begin{aligned}(1) \rightarrow x&=60^o\\ (2) \rightarrow x&=-30^o\end{aligned}\)
Diperoleh titik \((60^o, 0)\) dan \((-30^o, 0)\). Karena sudah ada pilihan yang sesuai, maka tidak perlu dilanjutkan.

Step 2: Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, titik minimum dari fungsi tersebut secara adalah \((60^o, 0)\).

Step 3: Kesimpulan

persamaan trigonometri, fungsi

Pembahasan