7. Di antara sistem persamaan linear tiga variabel berikut yang memiliki penyelesaian (-5, -5, 3) adalah .... 5a-4b + 2c = 21 A. -a-5b + 6c = -24 -a-4b + 5c = -21 3a-b2c=-4 B. 3a + 2b = -20 -a+b-c = 12 -6r+ 5s + 2t = -11 C. -2r + s + 4t =-9 4r -55 + 5t = -4 5a +55 +50=-20 D. 4a + 3b + 3c = -6 -4a + 3b + 3c = 9 a-b-2c = -6 E. 3a + 2b=-25 -4a+b-c=12 

Hai Pahamifren, pada soal kali ini kita diminta untuk menentukan persamaan manakah yang memiliki penyelesaian \((-5, -5, 3)\), kita akan memilih sistem persamaan linear tiga variabel yang diberikan pada opsi. Berdasarkan hal tersebut maka konsep yang kita gunakan adalah Metode Eliminasi-Substitusi (SPLTV)

Konsep

Diketahui:
Penyelesaian suatu SPLTV adalah \((-5, -5, 3)\).
Ditanya:
SPLTV yang memenuhu penyelesaian tersebut
Jawab:
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
SPLTV merupakan kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum
\(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}\)
Sebuah nilai \((x, y, z)\) merupakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel jika nilai \((x, y, z)\) memenuhi ketiga persamaan yang ada di dalam SPLTV. Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu metode substitusi dan metode eliminasi.

Perhatikan
Karena yang kita miliki adalah penyelesaian dari SPLTV yaitu \((-5, -5, 3)\), maka langkah yang perlu kita lakukan untuk mengetahui mana SPLTV yang memenuhi penyelesaian tersebut adalah dengan mensubstitusi titik tersebut ke masing masing opsi yang diberikan.

a) \(\begin{cases}5a-4b+2c=21\\-a-5b+6c=-24\\-a-4b+5c=-21\end{cases}\)
Sekarang substitusikan \((-5, -5, 3)\) ke masing-masing persamaan dan \((-5, -5, 3)\) harus memenuhi semua persamaan 

\(\rightarrow5a-4b+2c=21\)
\(5(-5)-4(-5)+2(3)=21\)
\(-25+20+6=21\)
\(1\neq21\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow-a-5b+6c=-24\)
\(-(-5)-5(-5)+6(3)=-24\)
\(5+20+18=-24\)
\(43\neq-24\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow-a-4b+5c=-21\)
\(-(-5)-4(-5)+5(3)=-21\)
\(5+20+15=-21\)
\(40\neq-21\), tidak memenuhi persamaan 

Karena, \((-5, -5, 3)\) tidak memenuhi untuk semua persamaan pada SPLTV maka \((-5, -5, 3)\) bukan merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut. 


b) \(\begin{cases}3a-b-2c=-4\\3a+2b=-20\\-a+b-c=12\end{cases}\)
Sekarang substitusikan \((-5, -5, 3)\) ke masing-masing persamaan dan \((-5, -5, 3)\) harus memenuhi semua persamaan 

\(\rightarrow3a-b-2c=-4\)
\(3(-5)-(-5)-2(3)=-4\)
\(-15+5-6=-4\)
\(-16\neq-4\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow3a+2b=-20\)
\(3(-5)+2(-5)=-20\)
\(-15-10=-20\)
\(-20=-20\), memenuhi persamaan 

\(\rightarrow-a+b-c=12\)
\(-(-5)+(-5)-(-5)=12\)
\(5-5+5=12\)
\(5\neq12\), tidak memenuhi persamaan 

Karena, ada persamaan yang tidak dipenuhi oleh \((-5, -5, 3)\) maka SPLTV tersebut bukan SPLTV dengan penyelesaian \((-5, -5, 3)\).


c) \(\begin{cases}-6r+5s+2t=-11\\-2r+s+4t=-9\\4r-5s+5t=-4\end{cases}\)
Sekarang substitusikan \((-5, -5, 3)\) ke masing-masing persamaan dan \((-5, -5, 3)\) harus memenuhi semua persamaan 

\(\rightarrow-6r+5s+2t=-11\)
\(-6(-5)+5(-5)+2(3)=-11\)
\(30-25+6=-11\)
\(11\neq-11\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow-2r+s+4t=-9\)
\(-2(-5)+(-5)+4(3)=-9\)
\(10-5+12=-9\)
\(17\neq-9\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow4r-5s+5t=-4\)
\(4(-5)-5(-5)+5(3)=-4\)
\(-20+25+15=-4\)
\(20\neq-4\), tidak memenuhi persamaan 

Karena, ada persamaan yang tidak dipenuhi oleh \((-5, -5, 3)\) maka SPLTV tersebut bukan SPLTV dengan penyelesaian \((-5, -5, 3)\).


d) \(\begin{cases}5a+5b+5c=-20\\4a+3b+3c=-6\\-4a+3a+3b=9\end{cases}\)
Sekarang substitusikan \((-5, -5, 3)\) ke masing-masing persamaan dan \((-5, -5, 3)\) harus memenuhi semua persamaan 

\(\rightarrow5a+5b+5c=-20\)
\(5(-5)+5(-5)+5(3)=-20\)
\(-25-25+15=-20\)
\(-20=-20\), memenuhi persamaan 

\(\rightarrow4a+3b+3c=-6\)
\(4(-5)+3(-5)+3(3)=-6\)
\(-20-15+9=-6\)
\(-26=-6\), tidak memenuhi persamaan 

\(\rightarrow-4a+3a+3b=9\)
\(-4a+3a+3b=9\)
\(-4(-5)+3(-5)+3(3)=9\)
\(20-15+9=9\)
\(14=9\), tidak memenuhi 

Karena, ada persamaan yang tidak dipenuhi oleh \((-5, -5, 3)\) maka SPLTV tersebut bukan SPLTV dengan penyelesaian \((-5, -5, 3)\).


e) \(\begin{cases}a-b-2c=-6\\3a+2b=-25\\-4a+b-c=12\end{cases}\)
Sekarang substitusikan \((-5, -5, 3)\) ke masing-masing persamaan dan \((-5, -5, 3)\) harus memenuhi semua persamaan 

\(\rightarrow{a-b-2c=-6}\)
\((-5)-(-5)-2(3)=-6\)
\(-5+5-6=-6\)
\(-6=-6\), memenuhi persamaan 

\(\rightarrow{3a+2b=-25}\)
\(3(-5)+2(-5)=-25\)
\(-15-10=-25\)
\(-25=-25\), memenuhi persamaan 

\(\rightarrow{-4a+b-c=12}\)
\(-4(-5)+(-5)-(3)=12\)
\(20-5-3=12\)
\(12=12\), memenuhi persamaan 

Karena \((-5, -5, 3)\) memenuhi semua persamaan pada SPLTV. Artinya \((-5, -5, 3)\) merupakan penyelesaian untuk SPLTV tersebut.

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, SPLT dengan penyelesaian \((-5, -5, 3)\) adalah 
\(\begin{cases}a-b-2c=-6\\3a+2b=-25\\-4a+b-c=12\end{cases}\)